Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18816 / 14462
↖ ↑ ↗
← N 20.653346°
E 26.718750°		 ← 1 143.13 m → N 20.653346°
E 26.729736°		 →
↑
1 143.15 m
↓
↑
1 143.15 m
↓
N 20.643065°
E 26.718750°		 ← 1 143.20 m →
1 306 807 m²		 N 20.643065°
E 26.729736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574234008789062 y=0.441360473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574234008789062 × 215)
    floor (0.574234008789062 × 32768)
    floor (18816.5)     		tx = 18816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441360473632812 × 215)
    floor (0.441360473632812 × 32768)
    floor (14462.5)     		ty = 14462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18816 / 14462 ti = "15/18816/14462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18816/14462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18816 ÷ 215
    18816 ÷ 32768     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14462 ÷ 215
    14462 ÷ 32768     		y = 0.44134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44134521484375 × 2 - 1) × π
    0.1173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.368538884278992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368538884278992))-π/2
    2×atan(1.44562085146036)-π/2
    2×0.965632609311528-π/2
    1.93126521862306-1.57079632675     		φ = 0.36046889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36046889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.653346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18816 KachelY 14462 0.46633016 0.36046889 26.718750 20.653346
    Oben rechts KachelX + 1 18817 KachelY 14462 0.46652191 0.36046889 26.729736 20.653346
    Unten links KachelX 18816 KachelY + 1 14463 0.46633016 0.36028946 26.718750 20.643065
    Unten rechts KachelX + 1 18817 KachelY + 1 14463 0.46652191 0.36028946 26.729736 20.643065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36046889-0.36028946) × R
    0.00017942999999998 × 6371000     		dl = 1143.14852999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36046889-0.36028946) × R
    0.00017942999999998 × 6371000     		dr = 1143.14852999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.46652191) × cos(0.36046889) × R
    0.000191749999999991 × 0.935731542936626 × 6371000     		do = 1143.12638031439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.46652191) × cos(0.36028946) × R
    0.000191749999999991 × 0.935794815171759 × 6371000     		du = 1143.20367616026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36046889)-sin(0.36028946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935731542936626-0.935794815171759)×R²
    abs(0.46652191-0.46633016)×6.32722351331383e-05×R²
    0.000191749999999991×6.32722351331383e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.32722351331383e-05×40589641000000     		ar = 1306807.42508275m²