Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18813 / 13933
↖ ↑ ↗
← N 25.987675°
E 26.685791°		 ← 1 098.06 m → N 25.987675°
E 26.696777°		 →
↑
1 098.17 m
↓
↑
1 098.17 m
↓
N 25.977799°
E 26.685791°		 ← 1 098.15 m →
1 205 906 m²		 N 25.977799°
E 26.696777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574142456054688 y=0.425216674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574142456054688 × 215)
    floor (0.574142456054688 × 32768)
    floor (18813.5)     		tx = 18813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425216674804688 × 215)
    floor (0.425216674804688 × 32768)
    floor (13933.5)     		ty = 13933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18813 / 13933 ti = "15/18813/13933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18813/13933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18813 ÷ 215
    18813 ÷ 32768     		x = 0.574127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13933 ÷ 215
    13933 ÷ 32768     		y = 0.425201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574127197265625 × 2 - 1) × π
    0.14825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46575492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425201416015625 × 2 - 1) × π
    0.14959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.469973363875031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46575492} λ = 0.46575492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.469973363875031))-π/2
    2×atan(1.59995157613966)-π/2
    2×1.01218340894734-π/2
    2.02436681789467-1.57079632675     		φ = 0.45357049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46575492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45357049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.987675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18813 KachelY 13933 0.46575492 0.45357049 26.685791 25.987675
    Oben rechts KachelX + 1 18814 KachelY 13933 0.46594666 0.45357049 26.696777 25.987675
    Unten links KachelX 18813 KachelY + 1 13934 0.46575492 0.45339812 26.685791 25.977799
    Unten rechts KachelX + 1 18814 KachelY + 1 13934 0.46594666 0.45339812 26.696777 25.977799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45357049-0.45339812) × R
    0.000172369999999977 × 6371000     		dl = 1098.16926999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45357049-0.45339812) × R
    0.000172369999999977 × 6371000     		dr = 1098.16926999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46575492-0.46594666) × cos(0.45357049) × R
    0.000191739999999996 × 0.898888325939282 × 6371000     		do = 1098.05999215895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46575492-0.46594666) × cos(0.45339812) × R
    0.000191739999999996 × 0.898963841291309 × 6371000     		du = 1098.15223986588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45357049)-sin(0.45339812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898888325939282-0.898963841291309)×R²
    abs(0.46594666-0.46575492)×7.55153520275442e-05×R²
    0.000191739999999996×7.55153520275442e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.55153520275442e-05×40589641000000     		ar = 1205906.39478949m²