Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18812 / 14708
↖ ↑ ↗
← N 69.922759°
W 76.662598°		 ← 209.68 m → N 69.922759°
W 76.657105°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
N 69.920873°
W 76.662598°		 ← 209.69 m →
43 965 m²		 N 69.920873°
W 76.657105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287055969238281 y=0.224433898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287055969238281 × 216)
    floor (0.287055969238281 × 65536)
    floor (18812.5)     		tx = 18812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224433898925781 × 216)
    floor (0.224433898925781 × 65536)
    floor (14708.5)     		ty = 14708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18812 / 14708 ti = "16/18812/14708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18812/14708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18812 ÷ 216
    18812 ÷ 65536     		x = 0.28704833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14708 ÷ 216
    14708 ÷ 65536     		y = 0.22442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28704833984375 × 2 - 1) × π
    -0.4259033203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33801474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22442626953125 × 2 - 1) × π
    0.5511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73148081427643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33801474} λ = -1.33801474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73148081427643))-π/2
    2×atan(5.64901285676186)-π/2
    2×1.39558934334329-π/2
    2.79117868668657-1.57079632675     		φ = 1.22038236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33801474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.662598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22038236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.922759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18812 KachelY 14708 -1.33801474 1.22038236 -76.662598 69.922759
    Oben rechts KachelX + 1 18813 KachelY 14708 -1.33791887 1.22038236 -76.657105 69.922759
    Unten links KachelX 18812 KachelY + 1 14709 -1.33801474 1.22034945 -76.662598 69.920873
    Unten rechts KachelX + 1 18813 KachelY + 1 14709 -1.33791887 1.22034945 -76.657105 69.920873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22038236-1.22034945) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dl = 209.669610000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22038236-1.22034945) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dr = 209.669610000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33801474--1.33791887) × cos(1.22038236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343286647174553 × 6371000     		do = 209.675285698517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33801474--1.33791887) × cos(1.22034945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343317557070458 × 6371000     		du = 209.694165084908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22038236)-sin(1.22034945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343286647174553-0.343317557070458)×R²
    abs(-1.33791887--1.33801474)×3.09098959053178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09098959053178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09098959053178e-05×40589641000000     		ar = 43964.5145999949m²