Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18812 / 13952
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
E 26.674805°		 ← 1 099.87 m → N 25.799891°
E 26.685791°		 →
↑
1 099.89 m
↓
↑
1 099.89 m
↓
N 25.790000°
E 26.674805°		 ← 1 099.96 m →
1 209 781 m²		 N 25.790000°
E 26.685791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574111938476562 y=0.425796508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574111938476562 × 215)
    floor (0.574111938476562 × 32768)
    floor (18812.5)     		tx = 18812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425796508789062 × 215)
    floor (0.425796508789062 × 32768)
    floor (13952.5)     		ty = 13952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18812 / 13952 ti = "15/18812/13952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18812/13952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18812 ÷ 215
    18812 ÷ 32768     		x = 0.5740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13952 ÷ 215
    13952 ÷ 32768     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5740966796875 × 2 - 1) × π
    0.148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46556317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46556317} λ = 0.46556317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46556317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18812 KachelY 13952 0.46556317 0.45029305 26.674805 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 18813 KachelY 13952 0.46575492 0.45029305 26.685791 25.799891
    Unten links KachelX 18812 KachelY + 1 13953 0.46556317 0.45012041 26.674805 25.790000
    Unten rechts KachelX + 1 18813 KachelY + 1 13953 0.46575492 0.45012041 26.685791 25.790000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.45012041) × R
    0.000172639999999946 × 6371000     		dl = 1099.88943999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.45012041) × R
    0.000172639999999946 × 6371000     		dr = 1099.88943999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46556317-0.46575492) × cos(0.45029305) × R
    0.000191749999999991 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 1099.86575728856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46556317-0.46575492) × cos(0.45012041) × R
    0.000191749999999991 × 0.900394721625244 × 6371000     		du = 1099.95753243017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.45012041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.900394721625244)×R²
    abs(0.46575492-0.46556317)×7.5124584948294e-05×R²
    0.000191749999999991×7.5124584948294e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.5124584948294e-05×40589641000000     		ar = 1209781.20611832m²