Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18810 / 15014
↖ ↑ ↗
← N 14.881087°
E 26.652832°		 ← 1 180.67 m → N 14.881087°
E 26.663818°		 →
↑
1 180.67 m
↓
↑
1 180.67 m
↓
N 14.870469°
E 26.652832°		 ← 1 180.72 m →
1 394 016 m²		 N 14.870469°
E 26.663818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574050903320312 y=0.458206176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574050903320312 × 215)
    floor (0.574050903320312 × 32768)
    floor (18810.5)     		tx = 18810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458206176757812 × 215)
    floor (0.458206176757812 × 32768)
    floor (15014.5)     		ty = 15014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18810 / 15014 ti = "15/18810/15014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18810/15014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18810 ÷ 215
    18810 ÷ 32768     		x = 0.57403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15014 ÷ 215
    15014 ÷ 32768     		y = 0.45819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45819091796875 × 2 - 1) × π
    0.0836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.262694209917908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46517967} λ = 0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262694209917908))-π/2
    2×atan(1.30042899985492)-π/2
    2×0.915260146995011-π/2
    1.83052029399002-1.57079632675     		φ = 0.25972397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25972397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.881087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18810 KachelY 15014 0.46517967 0.25972397 26.652832 14.881087
    Oben rechts KachelX + 1 18811 KachelY 15014 0.46537142 0.25972397 26.663818 14.881087
    Unten links KachelX 18810 KachelY + 1 15015 0.46517967 0.25953865 26.652832 14.870469
    Unten rechts KachelX + 1 18811 KachelY + 1 15015 0.46537142 0.25953865 26.663818 14.870469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25972397-0.25953865) × R
    0.000185320000000044 × 6371000     		dl = 1180.67372000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25972397-0.25953865) × R
    0.000185320000000044 × 6371000     		dr = 1180.67372000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46517967-0.46537142) × cos(0.25972397) × R
    0.000191749999999991 × 0.966460903262487 × 6371000     		do = 1180.66657301585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46517967-0.46537142) × cos(0.25953865) × R
    0.000191749999999991 × 0.966508479397855 × 6371000     		du = 1180.72469389018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25972397)-sin(0.25953865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966460903262487-0.966508479397855)×R²
    abs(0.46537142-0.46517967)×4.75761353672111e-05×R²
    0.000191749999999991×4.75761353672111e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.75761353672111e-05×40589641000000     		ar = 1394016.30972642m²