Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1881 / 947
↖ ↑ ↗
← N 69.068563°
W 14.677734°		 ← 3 491.40 m → N 69.068563°
W 14.589844°		 →
↑
3 493.92 m
↓
↑
3 493.92 m
↓
N 69.037142°
W 14.677734°		 ← 3 496.41 m →
12 207 433 m²		 N 69.037142°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4593505859375 y=0.2313232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4593505859375 × 212)
    floor (0.4593505859375 × 4096)
    floor (1881.5)     		tx = 1881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2313232421875 × 212)
    floor (0.2313232421875 × 4096)
    floor (947.5)     		ty = 947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1881 / 947 ti = "12/1881/947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1881/947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1881 ÷ 212
    1881 ÷ 4096     		x = 0.459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 947 ÷ 212
    947 ÷ 4096     		y = 0.231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231201171875 × 2 - 1) × π
    0.53759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68891284741382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25617479} λ = -0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68891284741382))-π/2
    2×atan(5.41359210415073)-π/2
    2×1.38813508200593-π/2
    2.77627016401186-1.57079632675     		φ = 1.20547384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20547384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.068563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1881 KachelY 947 -0.25617479 1.20547384 -14.677734 69.068563
    Oben rechts KachelX + 1 1882 KachelY 947 -0.25464081 1.20547384 -14.589844 69.068563
    Unten links KachelX 1881 KachelY + 1 948 -0.25617479 1.20492543 -14.677734 69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 1882 KachelY + 1 948 -0.25464081 1.20492543 -14.589844 69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20547384-1.20492543) × R
    0.000548409999999944 × 6371000     		dl = 3493.92010999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20547384-1.20492543) × R
    0.000548409999999944 × 6371000     		dr = 3493.92010999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25617479--0.25464081) × cos(1.20547384) × R
    0.00153397999999999 × 0.357250518488506 × 6371000     		do = 3491.40452288619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25617479--0.25464081) × cos(1.20492543) × R
    0.00153397999999999 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 3496.40991344266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20547384)-sin(1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357250518488506-0.357762684397617)×R²
    abs(-0.25464081--0.25617479)×0.000512165909110851×R²
    0.00153397999999999×0.000512165909110851×6371000²
    0.00153397999999999×0.000512165909110851×40589641000000     		ar = 12207432.997973m²