Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1881 / 1869
↖ ↑ ↗
← S 81.440137°
E150.644531°		 ← 2 909.27 m → S 81.440137°
E150.820312°		 →
↑
2 904.86 m
↓
↑
2 904.86 m
↓
S 81.466261°
E150.644531°		 ← 2 900.46 m →
8 438 228 m²		 S 81.466261°
E150.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918701171875 y=0.912841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918701171875 × 211)
    floor (0.918701171875 × 2048)
    floor (1881.5)     		tx = 1881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912841796875 × 211)
    floor (0.912841796875 × 2048)
    floor (1869.5)     		ty = 1869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1881 / 1869 ti = "11/1881/1869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1881/1869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1881 ÷ 211
    1881 ÷ 2048     		x = 0.91845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1869 ÷ 211
    1869 ÷ 2048     		y = 0.91259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91845703125 × 2 - 1) × π
    0.8369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62924307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91259765625 × 2 - 1) × π
    -0.8251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62924307} λ = 2.62924307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59242753145264))-π/2
    2×atan(0.0748381474428201)-π/2
    2×0.0746988985403158-π/2
    0.149397797080632-1.57079632675     		φ = -1.42139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62924307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.440137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1881 KachelY 1869 2.62924307 -1.42139853 150.644531 -81.440137
    Oben rechts KachelX + 1 1882 KachelY 1869 2.63231103 -1.42139853 150.820312 -81.440137
    Unten links KachelX 1881 KachelY + 1 1870 2.62924307 -1.42185448 150.644531 -81.466261
    Unten rechts KachelX + 1 1882 KachelY + 1 1870 2.63231103 -1.42185448 150.820312 -81.466261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42139853--1.42185448) × R
    0.000455949999999872 × 6371000     		dl = 2904.85744999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42139853--1.42185448) × R
    0.000455949999999872 × 6371000     		dr = 2904.85744999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62924307-2.63231103) × cos(-1.42139853) × R
    0.00306796000000009 × 0.14884266430057 × 6371000     		do = 2909.27472148193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62924307-2.63231103) × cos(-1.42185448) × R
    0.00306796000000009 × 0.148391777721568 × 6371000     		du = 2900.46170451054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42139853)-sin(-1.42185448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14884266430057-0.148391777721568)×R²
    abs(2.63231103-2.62924307)×0.000450886579002469×R²
    0.00306796000000009×0.000450886579002469×6371000²
    0.00306796000000009×0.000450886579002469×40589641000000     		ar = 8438228.21597175m²