Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18808 / 13944
↖ ↑ ↗
← N 25.878994°
E 26.630859°		 ← 1 099.13 m → N 25.878994°
E 26.641846°		 →
↑
1 099.19 m
↓
↑
1 099.19 m
↓
N 25.869109°
E 26.630859°		 ← 1 099.22 m →
1 208 202 m²		 N 25.869109°
E 26.641846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573989868164062 y=0.425552368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573989868164062 × 215)
    floor (0.573989868164062 × 32768)
    floor (18808.5)     		tx = 18808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425552368164062 × 215)
    floor (0.425552368164062 × 32768)
    floor (13944.5)     		ty = 13944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18808 / 13944 ti = "15/18808/13944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18808/13944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18808 ÷ 215
    18808 ÷ 32768     		x = 0.573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13944 ÷ 215
    13944 ÷ 32768     		y = 0.425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573974609375 × 2 - 1) × π
    0.14794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46479618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425537109375 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.467864140291748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46479618} λ = 0.46479618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467864140291748))-π/2
    2×atan(1.59658047699385)-π/2
    2×1.01123499308573-π/2
    2.02246998617146-1.57079632675     		φ = 0.45167366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46479618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.630859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45167366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.878994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18808 KachelY 13944 0.46479618 0.45167366 26.630859 25.878994
    Oben rechts KachelX + 1 18809 KachelY 13944 0.46498793 0.45167366 26.641846 25.878994
    Unten links KachelX 18808 KachelY + 1 13945 0.46479618 0.45150113 26.630859 25.869109
    Unten rechts KachelX + 1 18809 KachelY + 1 13945 0.46498793 0.45150113 26.641846 25.869109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45167366-0.45150113) × R
    0.000172530000000004 × 6371000     		dl = 1099.18863000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45167366-0.45150113) × R
    0.000172530000000004 × 6371000     		dr = 1099.18863000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46479618-0.46498793) × cos(0.45167366) × R
    0.000191749999999991 × 0.899717857138809 × 6371000     		do = 1099.13064820661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46479618-0.46498793) × cos(0.45150113) × R
    0.000191749999999991 × 0.899793148256046 × 6371000     		du = 1099.2226267906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45167366)-sin(0.45150113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899717857138809-0.899793148256046)×R²
    abs(0.46498793-0.46479618)×7.52911172364756e-05×R²
    0.000191749999999991×7.52911172364756e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.52911172364756e-05×40589641000000     		ar = 1208202.46529688m²