Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18808 / 10744
↖ ↑ ↗
← N 81.726350°
W128.342285°		 ← 43.95 m → N 81.726350°
W128.339539°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
N 81.725955°
W128.342285°		 ← 43.95 m →
1 932 m²		 N 81.725955°
W128.339539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143497467041016 y=0.0819740295410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143497467041016 × 217)
    floor (0.143497467041016 × 131072)
    floor (18808.5)     		tx = 18808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819740295410156 × 217)
    floor (0.0819740295410156 × 131072)
    floor (10744.5)     		ty = 10744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18808 / 10744 ti = "17/18808/10744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18808/10744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18808 ÷ 217
    18808 ÷ 131072     		x = 0.14349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10744 ÷ 217
    10744 ÷ 131072     		y = 0.08197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.7130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23999545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08197021484375 × 2 - 1) × π
    0.8360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62655860398212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23999545} λ = -2.23999545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62655860398212))-π/2
    2×atan(13.8261068264354)-π/2
    2×1.49859511090151-π/2
    2.99719022180302-1.57079632675     		φ = 1.42639390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23999545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.342285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42639390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.726350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18808 KachelY 10744 -2.23999545 1.42639390 -128.342285 81.726350
    Oben rechts KachelX + 1 18809 KachelY 10744 -2.23994751 1.42639390 -128.339539 81.726350
    Unten links KachelX 18808 KachelY + 1 10745 -2.23999545 1.42638700 -128.342285 81.725955
    Unten rechts KachelX + 1 18809 KachelY + 1 10745 -2.23994751 1.42638700 -128.339539 81.725955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42639390-1.42638700) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42639390-1.42638700) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23999545--2.23994751) × cos(1.42639390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143901101731407 × 6371000     		do = 43.9511004831015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23999545--2.23994751) × cos(1.42638700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143907929913292 × 6371000     		du = 43.9531859856066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42639390)-sin(1.42638700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143901101731407-0.143907929913292)×R²
    abs(-2.23994751--2.23999545)×6.82818188502132e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82818188502132e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82818188502132e-06×40589641000000     		ar = 1932.13182138611m²