Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18807 / 14093
↖ ↑ ↗
← N 24.397133°
E 26.619873°		 ← 1 112.55 m → N 24.397133°
E 26.630859°		 →
↑
1 112.57 m
↓
↑
1 112.57 m
↓
N 24.387128°
E 26.619873°		 ← 1 112.64 m →
1 237 839 m²		 N 24.387128°
E 26.630859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573959350585938 y=0.430099487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573959350585938 × 215)
    floor (0.573959350585938 × 32768)
    floor (18807.5)     		tx = 18807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430099487304688 × 215)
    floor (0.430099487304688 × 32768)
    floor (14093.5)     		ty = 14093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18807 / 14093 ti = "15/18807/14093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18807/14093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18807 ÷ 215
    18807 ÷ 32768     		x = 0.573944091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14093 ÷ 215
    14093 ÷ 32768     		y = 0.430084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573944091796875 × 2 - 1) × π
    0.14788818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46460443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430084228515625 × 2 - 1) × π
    0.13983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.439293748118195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46460443} λ = 0.46460443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439293748118195))-π/2
    2×atan(1.55161100326398)-π/2
    2×0.998303312991977-π/2
    1.99660662598395-1.57079632675     		φ = 0.42581030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46460443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.619873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42581030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.397133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18807 KachelY 14093 0.46460443 0.42581030 26.619873 24.397133
    Oben rechts KachelX + 1 18808 KachelY 14093 0.46479618 0.42581030 26.630859 24.397133
    Unten links KachelX 18807 KachelY + 1 14094 0.46460443 0.42563567 26.619873 24.387128
    Unten rechts KachelX + 1 18808 KachelY + 1 14094 0.46479618 0.42563567 26.630859 24.387128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42581030-0.42563567) × R
    0.000174629999999953 × 6371000     		dl = 1112.5677299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42581030-0.42563567) × R
    0.000174629999999953 × 6371000     		dr = 1112.5677299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46460443-0.46479618) × cos(0.42581030) × R
    0.000191749999999991 × 0.910704330373485 × 6371000     		do = 1112.55215512916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46460443-0.46479618) × cos(0.42563567) × R
    0.000191749999999991 × 0.910776448955758 × 6371000     		du = 1112.64025801992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42581030)-sin(0.42563567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910704330373485-0.910776448955758)×R²
    abs(0.46479618-0.46460443)×7.2118582273073e-05×R²
    0.000191749999999991×7.2118582273073e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.2118582273073e-05×40589641000000     		ar = 1237838.63910068m²