Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18807 / 13951
↖ ↑ ↗
← N 25.809782°
E 26.619873°		 ← 1 099.77 m → N 25.809782°
E 26.630859°		 →
↑
1 099.76 m
↓
↑
1 099.76 m
↓
N 25.799891°
E 26.619873°		 ← 1 099.87 m →
1 209 540 m²		 N 25.799891°
E 26.630859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573959350585938 y=0.425765991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573959350585938 × 215)
    floor (0.573959350585938 × 32768)
    floor (18807.5)     		tx = 18807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425765991210938 × 215)
    floor (0.425765991210938 × 32768)
    floor (13951.5)     		ty = 13951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18807 / 13951 ti = "15/18807/13951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18807/13951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18807 ÷ 215
    18807 ÷ 32768     		x = 0.573944091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13951 ÷ 215
    13951 ÷ 32768     		y = 0.425750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573944091796875 × 2 - 1) × π
    0.14788818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46460443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425750732421875 × 2 - 1) × π
    0.14849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.466521907102387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46460443} λ = 0.46460443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466521907102387))-π/2
    2×atan(1.59443893123655)-π/2
    2×1.0106310007416-π/2
    2.0212620014832-1.57079632675     		φ = 0.45046567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46460443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.619873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45046567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.809782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18807 KachelY 13951 0.46460443 0.45046567 26.619873 25.809782
    Oben rechts KachelX + 1 18808 KachelY 13951 0.46479618 0.45046567 26.630859 25.809782
    Unten links KachelX 18807 KachelY + 1 13952 0.46460443 0.45029305 26.619873 25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 18808 KachelY + 1 13952 0.46479618 0.45029305 26.630859 25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45046567-0.45029305) × R
    0.000172620000000012 × 6371000     		dl = 1099.76202000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45046567-0.45029305) × R
    0.000172620000000012 × 6371000     		dr = 1099.76202000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46460443-0.46479618) × cos(0.45046567) × R
    0.000191749999999991 × 0.900244454329406 × 6371000     		do = 1099.77396000358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46460443-0.46479618) × cos(0.45029305) × R
    0.000191749999999991 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 1099.86575728856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45046567)-sin(0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900244454329406-0.900319597040296)×R²
    abs(0.46479618-0.46460443)×7.51427108902636e-05×R²
    0.000191749999999991×7.51427108902636e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.51427108902636e-05×40589641000000     		ar = 1209540.11238403m²