Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18806 / 13934
↖ ↑ ↗
← N 25.977799°
E 26.608887°		 ← 1 098.21 m → N 25.977799°
E 26.619873°		 →
↑
1 098.23 m
↓
↑
1 098.23 m
↓
N 25.967922°
E 26.608887°		 ← 1 098.30 m →
1 206 141 m²		 N 25.967922°
E 26.619873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573928833007812 y=0.425247192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573928833007812 × 215)
    floor (0.573928833007812 × 32768)
    floor (18806.5)     		tx = 18806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425247192382812 × 215)
    floor (0.425247192382812 × 32768)
    floor (13934.5)     		ty = 13934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18806 / 13934 ti = "15/18806/13934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18806/13934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18806 ÷ 215
    18806 ÷ 32768     		x = 0.57391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13934 ÷ 215
    13934 ÷ 32768     		y = 0.42523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57391357421875 × 2 - 1) × π
    0.1478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46441268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42523193359375 × 2 - 1) × π
    0.1495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.46978161627655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46441268} λ = 0.46441268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46978161627655))-π/2
    2×atan(1.59964481867819)-π/2
    2×1.01209722548841-π/2
    2.02419445097682-1.57079632675     		φ = 0.45339812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46441268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.608887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45339812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.977799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18806 KachelY 13934 0.46441268 0.45339812 26.608887 25.977799
    Oben rechts KachelX + 1 18807 KachelY 13934 0.46460443 0.45339812 26.619873 25.977799
    Unten links KachelX 18806 KachelY + 1 13935 0.46441268 0.45322574 26.608887 25.967922
    Unten rechts KachelX + 1 18807 KachelY + 1 13935 0.46460443 0.45322574 26.619873 25.967922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45339812-0.45322574) × R
    0.000172380000000028 × 6371000     		dl = 1098.23298000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45339812-0.45322574) × R
    0.000172380000000028 × 6371000     		dr = 1098.23298000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46441268-0.46460443) × cos(0.45339812) × R
    0.000191749999999991 × 0.898963841291309 × 6371000     		do = 1098.20951285218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46441268-0.46460443) × cos(0.45322574) × R
    0.000191749999999991 × 0.899039334312526 × 6371000     		du = 1098.30173809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45339812)-sin(0.45322574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898963841291309-0.899039334312526)×R²
    abs(0.46460443-0.46441268)×7.54930212168992e-05×R²
    0.000191749999999991×7.54930212168992e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.54930212168992e-05×40589641000000     		ar = 1206140.55134951m²