Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18804 / 13940
↖ ↑ ↗
← N 25.918526°
E 26.586914°		 ← 1 098.76 m → N 25.918526°
E 26.597901°		 →
↑
1 098.81 m
↓
↑
1 098.81 m
↓
N 25.908644°
E 26.586914°		 ← 1 098.85 m →
1 207 378 m²		 N 25.908644°
E 26.597901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573867797851562 y=0.425430297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573867797851562 × 215)
    floor (0.573867797851562 × 32768)
    floor (18804.5)     		tx = 18804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425430297851562 × 215)
    floor (0.425430297851562 × 32768)
    floor (13940.5)     		ty = 13940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18804 / 13940 ti = "15/18804/13940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18804/13940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18804 ÷ 215
    18804 ÷ 32768     		x = 0.5738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13940 ÷ 215
    13940 ÷ 32768     		y = 0.4254150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4254150390625 × 2 - 1) × π
    0.149169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.468631130685669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46402919} λ = 0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468631130685669))-π/2
    2×atan(1.59780550861652)-π/2
    2×1.01157997278768-π/2
    2.02315994557535-1.57079632675     		φ = 0.45236362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45236362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.918526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18804 KachelY 13940 0.46402919 0.45236362 26.586914 25.918526
    Oben rechts KachelX + 1 18805 KachelY 13940 0.46422094 0.45236362 26.597901 25.918526
    Unten links KachelX 18804 KachelY + 1 13941 0.46402919 0.45219115 26.586914 25.908644
    Unten rechts KachelX + 1 18805 KachelY + 1 13941 0.46422094 0.45219115 26.597901 25.908644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45236362-0.45219115) × R
    0.000172470000000036 × 6371000     		dl = 1098.80637000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45236362-0.45219115) × R
    0.000172470000000036 × 6371000     		dr = 1098.80637000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46402919-0.46422094) × cos(0.45236362) × R
    0.000191750000000046 × 0.899416494811696 × 6371000     		do = 1098.76249215965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46402919-0.46422094) × cos(0.45219115) × R
    0.000191750000000046 × 0.899491866800569 × 6371000     		du = 1098.85456953961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45236362)-sin(0.45219115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899416494811696-0.899491866800569)×R²
    abs(0.46422094-0.46402919)×7.53719888730853e-05×R²
    0.000191750000000046×7.53719888730853e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.53719888730853e-05×40589641000000     		ar = 1207377.81610116m²