Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18802 / 13910
↖ ↑ ↗
← N 26.214591°
E 26.564941°		 ← 1 095.99 m → N 26.214591°
E 26.575928°		 →
↑
1 096.07 m
↓
↑
1 096.07 m
↓
N 26.204734°
E 26.564941°		 ← 1 096.08 m →
1 201 328 m²		 N 26.204734°
E 26.575928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573806762695312 y=0.424514770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573806762695312 × 215)
    floor (0.573806762695312 × 32768)
    floor (18802.5)     		tx = 18802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424514770507812 × 215)
    floor (0.424514770507812 × 32768)
    floor (13910.5)     		ty = 13910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18802 / 13910 ti = "15/18802/13910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18802/13910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18802 ÷ 215
    18802 ÷ 32768     		x = 0.57379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13910 ÷ 215
    13910 ÷ 32768     		y = 0.42449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57379150390625 × 2 - 1) × π
    0.1475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46364569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42449951171875 × 2 - 1) × π
    0.1510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474383558640076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46364569} λ = 0.46364569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474383558640076))-π/2
    2×atan(1.607023256487)-π/2
    2×1.01416362610585-π/2
    2.02832725221169-1.57079632675     		φ = 0.45753093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46364569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.564941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45753093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.214591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18802 KachelY 13910 0.46364569 0.45753093 26.564941 26.214591
    Oben rechts KachelX + 1 18803 KachelY 13910 0.46383744 0.45753093 26.575928 26.214591
    Unten links KachelX 18802 KachelY + 1 13911 0.46364569 0.45735889 26.564941 26.204734
    Unten rechts KachelX + 1 18803 KachelY + 1 13911 0.46383744 0.45735889 26.575928 26.204734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45753093-0.45735889) × R
    0.000172039999999984 × 6371000     		dl = 1096.0668399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45753093-0.45735889) × R
    0.000172039999999984 × 6371000     		dr = 1096.0668399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46364569-0.46383744) × cos(0.45753093) × R
    0.000191749999999991 × 0.897145904060239 × 6371000     		do = 1095.98864937667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46364569-0.46383744) × cos(0.45735889) × R
    0.000191749999999991 × 0.897221886758903 × 6371000     		du = 1096.08147282368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45753093)-sin(0.45735889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897145904060239-0.897221886758903)×R²
    abs(0.46383744-0.46364569)×7.59826986636014e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59826986636014e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59826986636014e-05×40589641000000     		ar = 1201327.68891221m²