Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18800 / 13968
↖ ↑ ↗
← N 25.641526°
E 26.542969°		 ← 1 101.33 m → N 25.641526°
E 26.553955°		 →
↑
1 101.35 m
↓
↑
1 101.35 m
↓
N 25.631622°
E 26.542969°		 ← 1 101.42 m →
1 213 007 m²		 N 25.631622°
E 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573745727539062 y=0.426284790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573745727539062 × 215)
    floor (0.573745727539062 × 32768)
    floor (18800.5)     		tx = 18800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426284790039062 × 215)
    floor (0.426284790039062 × 32768)
    floor (13968.5)     		ty = 13968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18800 / 13968 ti = "15/18800/13968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18800/13968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18800 ÷ 215
    18800 ÷ 32768     		x = 0.57373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13968 ÷ 215
    13968 ÷ 32768     		y = 0.42626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57373046875 × 2 - 1) × π
    0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    0.1474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.463262197928223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46326220} λ = 0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463262197928223))-π/2
    2×atan(1.58924998584589)-π/2
    2×1.00916269361496-π/2
    2.01832538722992-1.57079632675     		φ = 0.44752906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44752906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.641526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18800 KachelY 13968 0.46326220 0.44752906 26.542969 25.641526
    Oben rechts KachelX + 1 18801 KachelY 13968 0.46345395 0.44752906 26.553955 25.641526
    Unten links KachelX 18800 KachelY + 1 13969 0.46326220 0.44735619 26.542969 25.631622
    Unten rechts KachelX + 1 18801 KachelY + 1 13969 0.46345395 0.44735619 26.553955 25.631622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44752906-0.44735619) × R
    0.000172869999999992 × 6371000     		dl = 1101.35476999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44752906-0.44735619) × R
    0.000172869999999992 × 6371000     		dr = 1101.35476999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46326220-0.46345395) × cos(0.44752906) × R
    0.000191749999999991 × 0.901519126137334 × 6371000     		do = 1101.33114911501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46326220-0.46345395) × cos(0.44735619) × R
    0.000191749999999991 × 0.901593920301935 × 6371000     		du = 1101.42252060216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44752906)-sin(0.44735619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901519126137334-0.901593920301935)×R²
    abs(0.46345395-0.46326220)×7.47941646013217e-05×R²
    0.000191749999999991×7.47941646013217e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.47941646013217e-05×40589641000000     		ar = 1213006.63365983m²