Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1880 / 950
↖ ↑ ↗
← N 68.974163°
W 14.765625°		 ← 3 506.44 m → N 68.974163°
W 14.677734°		 →
↑
3 508.96 m
↓
↑
3 508.96 m
↓
N 68.942607°
W 14.765625°		 ← 3 511.46 m →
12 312 754 m²		 N 68.942607°
W 14.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4591064453125 y=0.2320556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4591064453125 × 212)
    floor (0.4591064453125 × 4096)
    floor (1880.5)     		tx = 1880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2320556640625 × 212)
    floor (0.2320556640625 × 4096)
    floor (950.5)     		ty = 950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1880 / 950 ti = "12/1880/950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1880/950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1880 ÷ 212
    1880 ÷ 4096     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 950 ÷ 212
    950 ÷ 4096     		y = 0.23193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23193359375 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68431090505029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68431090505029))-π/2
    2×atan(5.3887363016591)-π/2
    2×1.38731129005862-π/2
    2.77462258011724-1.57079632675     		φ = 1.20382625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20382625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.974163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1880 KachelY 950 -0.25770877 1.20382625 -14.765625 68.974163
    Oben rechts KachelX + 1 1881 KachelY 950 -0.25617479 1.20382625 -14.677734 68.974163
    Unten links KachelX 1880 KachelY + 1 951 -0.25770877 1.20327548 -14.765625 68.942607
    Unten rechts KachelX + 1 1881 KachelY + 1 951 -0.25617479 1.20327548 -14.677734 68.942607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20382625-1.20327548) × R
    0.000550770000000034 × 6371000     		dl = 3508.95567000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20382625-1.20327548) × R
    0.000550770000000034 × 6371000     		dr = 3508.95567000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25617479) × cos(1.20382625) × R
    0.00153397999999999 × 0.35878889613588 × 6371000     		do = 3506.43906698895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25617479) × cos(1.20327548) × R
    0.00153397999999999 × 0.359302940725674 × 6371000     		du = 3511.46281786652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20382625)-sin(1.20327548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35878889613588-0.359302940725674)×R²
    abs(-0.25617479--0.25770877)×0.000514044589793761×R²
    0.00153397999999999×0.000514044589793761×6371000²
    0.00153397999999999×0.000514044589793761×40589641000000     		ar = 12312753.6164373m²