Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18797 / 10757
↖ ↑ ↗
← N 81.721210°
W128.372497°		 ← 43.98 m → N 81.721210°
W128.369751°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
N 81.720815°
W128.372497°		 ← 43.98 m →
1 933 m²		 N 81.720815°
W128.369751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143413543701172 y=0.0820732116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143413543701172 × 217)
    floor (0.143413543701172 × 131072)
    floor (18797.5)     		tx = 18797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820732116699219 × 217)
    floor (0.0820732116699219 × 131072)
    floor (10757.5)     		ty = 10757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18797 / 10757 ti = "17/18797/10757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18797/10757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18797 ÷ 217
    18797 ÷ 131072     		x = 0.143409729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10757 ÷ 217
    10757 ÷ 131072     		y = 0.0820693969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143409729003906 × 2 - 1) × π
    -0.713180541992188 × 3.1415926535     		Λ = -2.24052275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0820693969726562 × 2 - 1) × π
    0.835861206054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.62593542428706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24052275} λ = -2.24052275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62593542428706))-π/2
    2×atan(13.8174933615464)-π/2
    2×1.49855025894915-π/2
    2.99710051789829-1.57079632675     		φ = 1.42630419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24052275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.372497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42630419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.721210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18797 KachelY 10757 -2.24052275 1.42630419 -128.372497 81.721210
    Oben rechts KachelX + 1 18798 KachelY 10757 -2.24047481 1.42630419 -128.369751 81.721210
    Unten links KachelX 18797 KachelY + 1 10758 -2.24052275 1.42629729 -128.372497 81.720815
    Unten rechts KachelX + 1 18798 KachelY + 1 10758 -2.24047481 1.42629729 -128.369751 81.720815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42630419-1.42629729) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42630419-1.42629729) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24052275--2.24047481) × cos(1.42630419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143989877457197 × 6371000     		do = 43.9782148748449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24052275--2.24047481) × cos(1.42629729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143996705549978 × 6371000     		du = 43.9803003501352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42630419)-sin(1.42629729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143989877457197-0.143996705549978)×R²
    abs(-2.24047481--2.24052275)×6.82809278076957e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82809278076957e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82809278076957e-06×40589641000000     		ar = 1933.32376679711m²