Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18796 / 14316
↖ ↑ ↗
← N 22.146708°
E 26.499024°		 ← 1 131.51 m → N 22.146708°
E 26.510010°		 →
↑
1 131.55 m
↓
↑
1 131.55 m
↓
N 22.136532°
E 26.499024°		 ← 1 131.59 m →
1 280 409 m²		 N 22.136532°
E 26.510010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573623657226562 y=0.436904907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573623657226562 × 215)
    floor (0.573623657226562 × 32768)
    floor (18796.5)     		tx = 18796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436904907226562 × 215)
    floor (0.436904907226562 × 32768)
    floor (14316.5)     		ty = 14316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18796 / 14316 ti = "15/18796/14316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18796/14316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18796 ÷ 215
    18796 ÷ 32768     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14316 ÷ 215
    14316 ÷ 32768     		y = 0.4368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    0.126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396534033657104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396534033657104))-π/2
    2×atan(1.48666303369372)-π/2
    2×0.978664648011332-π/2
    1.95732929602266-1.57079632675     		φ = 0.38653297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38653297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.146708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18796 KachelY 14316 0.46249521 0.38653297 26.499024 22.146708
    Oben rechts KachelX + 1 18797 KachelY 14316 0.46268696 0.38653297 26.510010 22.146708
    Unten links KachelX 18796 KachelY + 1 14317 0.46249521 0.38635536 26.499024 22.136532
    Unten rechts KachelX + 1 18797 KachelY + 1 14317 0.46268696 0.38635536 26.510010 22.136532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38653297-0.38635536) × R
    0.000177609999999995 × 6371000     		dl = 1131.55330999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38653297-0.38635536) × R
    0.000177609999999995 × 6371000     		dr = 1131.55330999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46268696) × cos(0.38653297) × R
    0.000191749999999991 × 0.926221623022251 × 6371000     		do = 1131.50868888263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46268696) × cos(0.38635536) × R
    0.000191749999999991 × 0.926288563732879 × 6371000     		du = 1131.59046628216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38653297)-sin(0.38635536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926221623022251-0.926288563732879)×R²
    abs(0.46268696-0.46249521)×6.69407106281827e-05×R²
    0.000191749999999991×6.69407106281827e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.69407106281827e-05×40589641000000     		ar = 1280408.67330828m²