Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18796 / 13981
↖ ↑ ↗
← N 25.512700°
E 26.499024°		 ← 1 102.52 m → N 25.512700°
E 26.510010°		 →
↑
1 102.57 m
↓
↑
1 102.57 m
↓
N 25.502785°
E 26.499024°		 ← 1 102.61 m →
1 215 647 m²		 N 25.502785°
E 26.510010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573623657226562 y=0.426681518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573623657226562 × 215)
    floor (0.573623657226562 × 32768)
    floor (18796.5)     		tx = 18796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426681518554688 × 215)
    floor (0.426681518554688 × 32768)
    floor (13981.5)     		ty = 13981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18796 / 13981 ti = "15/18796/13981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18796/13981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18796 ÷ 215
    18796 ÷ 32768     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13981 ÷ 215
    13981 ÷ 32768     		y = 0.426666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426666259765625 × 2 - 1) × π
    0.14666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.46076947914798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46076947914798))-π/2
    2×atan(1.58529336597875)-π/2
    2×1.00803847149479-π/2
    2.01607694298957-1.57079632675     		φ = 0.44528062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44528062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.512700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18796 KachelY 13981 0.46249521 0.44528062 26.499024 25.512700
    Oben rechts KachelX + 1 18797 KachelY 13981 0.46268696 0.44528062 26.510010 25.512700
    Unten links KachelX 18796 KachelY + 1 13982 0.46249521 0.44510756 26.499024 25.502785
    Unten rechts KachelX + 1 18797 KachelY + 1 13982 0.46268696 0.44510756 26.510010 25.502785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44528062-0.44510756) × R
    0.000173060000000003 × 6371000     		dl = 1102.56526000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44528062-0.44510756) × R
    0.000173060000000003 × 6371000     		dr = 1102.56526000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46268696) × cos(0.44528062) × R
    0.000191749999999991 × 0.902489834768143 × 6371000     		do = 1102.51700487872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46268696) × cos(0.44510756) × R
    0.000191749999999991 × 0.902564360125396 × 6371000     		du = 1102.60804798026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44528062)-sin(0.44510756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902489834768143-0.902564360125396)×R²
    abs(0.46268696-0.46249521)×7.45253572526083e-05×R²
    0.000191749999999991×7.45253572526083e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.45253572526083e-05×40589641000000     		ar = 1215647.14165324m²