Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18796 / 13964
↖ ↑ ↗
← N 25.681137°
E 26.499024°		 ← 1 100.97 m → N 25.681137°
E 26.510010°		 →
↑
1 100.97 m
↓
↑
1 100.97 m
↓
N 25.671236°
E 26.499024°		 ← 1 101.06 m →
1 212 183 m²		 N 25.671236°
E 26.510010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573623657226562 y=0.426162719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573623657226562 × 215)
    floor (0.573623657226562 × 32768)
    floor (18796.5)     		tx = 18796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426162719726562 × 215)
    floor (0.426162719726562 × 32768)
    floor (13964.5)     		ty = 13964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18796 / 13964 ti = "15/18796/13964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18796/13964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18796 ÷ 215
    18796 ÷ 32768     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13964 ÷ 215
    13964 ÷ 32768     		y = 0.4261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.464029188322144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464029188322144))-π/2
    2×atan(1.59046939289554)-π/2
    2×1.00950836447375-π/2
    2.0190167289475-1.57079632675     		φ = 0.44822040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44822040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.681137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18796 KachelY 13964 0.46249521 0.44822040 26.499024 25.681137
    Oben rechts KachelX + 1 18797 KachelY 13964 0.46268696 0.44822040 26.510010 25.681137
    Unten links KachelX 18796 KachelY + 1 13965 0.46249521 0.44804759 26.499024 25.671236
    Unten rechts KachelX + 1 18797 KachelY + 1 13965 0.46268696 0.44804759 26.510010 25.671236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44822040-0.44804759) × R
    0.000172810000000023 × 6371000     		dl = 1100.97251000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44822040-0.44804759) × R
    0.000172810000000023 × 6371000     		dr = 1100.97251000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46268696) × cos(0.44822040) × R
    0.000191749999999991 × 0.90121974076173 × 6371000     		do = 1100.9654081893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46268696) × cos(0.44804759) × R
    0.000191749999999991 × 0.901294616662826 × 6371000     		du = 1101.05687952896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44822040)-sin(0.44804759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90121974076173-0.901294616662826)×R²
    abs(0.46268696-0.46249521)×7.48759010952282e-05×R²
    0.000191749999999991×7.48759010952282e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.48759010952282e-05×40589641000000     		ar = 1212183.00560945m²