Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18795 / 14224
↖ ↑ ↗
← N 23.079732°
E 26.488037°		 ← 1 123.86 m → N 23.079732°
E 26.499024°		 →
↑
1 123.91 m
↓
↑
1 123.91 m
↓
N 23.069624°
E 26.488037°		 ← 1 123.94 m →
1 263 162 m²		 N 23.069624°
E 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573593139648438 y=0.434097290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573593139648438 × 215)
    floor (0.573593139648438 × 32768)
    floor (18795.5)     		tx = 18795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434097290039062 × 215)
    floor (0.434097290039062 × 32768)
    floor (14224.5)     		ty = 14224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18795 / 14224 ti = "15/18795/14224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18795/14224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18795 ÷ 215
    18795 ÷ 32768     		x = 0.573577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14224 ÷ 215
    14224 ÷ 32768     		y = 0.43408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573577880859375 × 2 - 1) × π
    0.14715576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46230346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43408203125 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.414174812717285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46230346} λ = 0.46230346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.414174812717285))-π/2
    2×atan(1.51312161666702)-π/2
    2×0.986806818257935-π/2
    1.97361363651587-1.57079632675     		φ = 0.40281731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46230346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.488037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40281731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.079732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18795 KachelY 14224 0.46230346 0.40281731 26.488037 23.079732
    Oben rechts KachelX + 1 18796 KachelY 14224 0.46249521 0.40281731 26.499024 23.079732
    Unten links KachelX 18795 KachelY + 1 14225 0.46230346 0.40264090 26.488037 23.069624
    Unten rechts KachelX + 1 18796 KachelY + 1 14225 0.46249521 0.40264090 26.499024 23.069624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40281731-0.40264090) × R
    0.00017640999999996 × 6371000     		dl = 1123.90810999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40281731-0.40264090) × R
    0.00017640999999996 × 6371000     		dr = 1123.90810999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46230346-0.46249521) × cos(0.40281731) × R
    0.000191749999999991 × 0.9199602279276 × 6371000     		do = 1123.85952287525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46230346-0.46249521) × cos(0.40264090) × R
    0.000191749999999991 × 0.920029368397804 × 6371000     		du = 1123.94398758741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40281731)-sin(0.40264090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9199602279276-0.920029368397804)×R²
    abs(0.46249521-0.46230346)×6.91404702040099e-05×R²
    0.000191749999999991×6.91404702040099e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.91404702040099e-05×40589641000000     		ar = 1263162.30082303m²