Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18794 / 14227
↖ ↑ ↗
← N 23.049407°
E 26.477051°		 ← 1 124.11 m → N 23.049407°
E 26.488037°		 →
↑
1 124.16 m
↓
↑
1 124.16 m
↓
N 23.039298°
E 26.477051°		 ← 1 124.20 m →
1 263 733 m²		 N 23.039298°
E 26.488037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573562622070312 y=0.434188842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573562622070312 × 215)
    floor (0.573562622070312 × 32768)
    floor (18794.5)     		tx = 18794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434188842773438 × 215)
    floor (0.434188842773438 × 32768)
    floor (14227.5)     		ty = 14227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18794 / 14227 ti = "15/18794/14227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18794/14227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18794 ÷ 215
    18794 ÷ 32768     		x = 0.57354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14227 ÷ 215
    14227 ÷ 32768     		y = 0.434173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434173583984375 × 2 - 1) × π
    0.13165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.413599569921844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46211171} λ = 0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413599569921844))-π/2
    2×atan(1.51225145465962)-π/2
    2×0.986542188187481-π/2
    1.97308437637496-1.57079632675     		φ = 0.40228805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40228805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.049407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18794 KachelY 14227 0.46211171 0.40228805 26.477051 23.049407
    Oben rechts KachelX + 1 18795 KachelY 14227 0.46230346 0.40228805 26.488037 23.049407
    Unten links KachelX 18794 KachelY + 1 14228 0.46211171 0.40211160 26.477051 23.039298
    Unten rechts KachelX + 1 18795 KachelY + 1 14228 0.46230346 0.40211160 26.488037 23.039298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40228805-0.40211160) × R
    0.000176449999999995 × 6371000     		dl = 1124.16294999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40228805-0.40211160) × R
    0.000176449999999995 × 6371000     		dr = 1124.16294999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46211171-0.46230346) × cos(0.40228805) × R
    0.000191749999999991 × 0.920167575186515 × 6371000     		do = 1124.11282642512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46211171-0.46230346) × cos(0.40211160) × R
    0.000191749999999991 × 0.920236645404605 × 6371000     		du = 1124.19720531454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40228805)-sin(0.40211160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920167575186515-0.920236645404605)×R²
    abs(0.46230346-0.46211171)×6.90702180897729e-05×R²
    0.000191749999999991×6.90702180897729e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.90702180897729e-05×40589641000000     		ar = 1263733.4221764m²