Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18793 / 14248
↖ ↑ ↗
← N 22.836946°
E 26.466064°		 ← 1 125.88 m → N 22.836946°
E 26.477051°		 →
↑
1 125.95 m
↓
↑
1 125.95 m
↓
N 22.826820°
E 26.466064°		 ← 1 125.96 m →
1 267 727 m²		 N 22.826820°
E 26.477051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573532104492188 y=0.434829711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573532104492188 × 215)
    floor (0.573532104492188 × 32768)
    floor (18793.5)     		tx = 18793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434829711914062 × 215)
    floor (0.434829711914062 × 32768)
    floor (14248.5)     		ty = 14248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18793 / 14248 ti = "15/18793/14248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18793/14248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18793 ÷ 215
    18793 ÷ 32768     		x = 0.573516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14248 ÷ 215
    14248 ÷ 32768     		y = 0.434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573516845703125 × 2 - 1) × π
    0.14703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46191996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.40957287035376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46191996} λ = 0.46191996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40957287035376))-π/2
    2×atan(1.5061743159975)-π/2
    2×0.984688112102233-π/2
    1.96937622420447-1.57079632675     		φ = 0.39857990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46191996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.466064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39857990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.836946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18793 KachelY 14248 0.46191996 0.39857990 26.466064 22.836946
    Oben rechts KachelX + 1 18794 KachelY 14248 0.46211171 0.39857990 26.477051 22.836946
    Unten links KachelX 18793 KachelY + 1 14249 0.46191996 0.39840317 26.466064 22.826820
    Unten rechts KachelX + 1 18794 KachelY + 1 14249 0.46211171 0.39840317 26.477051 22.826820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39857990-0.39840317) × R
    0.000176730000000014 × 6371000     		dl = 1125.94683000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39857990-0.39840317) × R
    0.000176730000000014 × 6371000     		dr = 1125.94683000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46191996-0.46211171) × cos(0.39857990) × R
    0.000191749999999991 × 0.921613078060589 × 6371000     		do = 1125.87870947207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46191996-0.46211171) × cos(0.39840317) × R
    0.000191749999999991 × 0.921681654339339 × 6371000     		du = 1125.96248494581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39857990)-sin(0.39840317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921613078060589-0.921681654339339)×R²
    abs(0.46211171-0.46191996)×6.85762787497879e-05×R²
    0.000191749999999991×6.85762787497879e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.85762787497879e-05×40589641000000     		ar = 1267726.73055879m²