Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18793 / 14226
↖ ↑ ↗
← N 23.059516°
E 26.466064°		 ← 1 124.03 m → N 23.059516°
E 26.477051°		 →
↑
1 124.04 m
↓
↑
1 124.04 m
↓
N 23.049407°
E 26.466064°		 ← 1 124.11 m →
1 263 495 m²		 N 23.049407°
E 26.477051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573532104492188 y=0.434158325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573532104492188 × 215)
    floor (0.573532104492188 × 32768)
    floor (18793.5)     		tx = 18793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434158325195312 × 215)
    floor (0.434158325195312 × 32768)
    floor (14226.5)     		ty = 14226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18793 / 14226 ti = "15/18793/14226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18793/14226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18793 ÷ 215
    18793 ÷ 32768     		x = 0.573516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14226 ÷ 215
    14226 ÷ 32768     		y = 0.43414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573516845703125 × 2 - 1) × π
    0.14703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46191996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43414306640625 × 2 - 1) × π
    0.1317138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.413791317520325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46191996} λ = 0.46191996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413791317520325))-π/2
    2×atan(1.51254145304671)-π/2
    2×0.986630404836983-π/2
    1.97326080967397-1.57079632675     		φ = 0.40246448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46191996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.466064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40246448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.059516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18793 KachelY 14226 0.46191996 0.40246448 26.466064 23.059516
    Oben rechts KachelX + 1 18794 KachelY 14226 0.46211171 0.40246448 26.477051 23.059516
    Unten links KachelX 18793 KachelY + 1 14227 0.46191996 0.40228805 26.466064 23.049407
    Unten rechts KachelX + 1 18794 KachelY + 1 14227 0.46211171 0.40228805 26.477051 23.049407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40246448-0.40228805) × R
    0.000176430000000005 × 6371000     		dl = 1124.03553000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40246448-0.40228805) × R
    0.000176430000000005 × 6371000     		dr = 1124.03553000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46191996-0.46211171) × cos(0.40246448) × R
    0.000191749999999991 × 0.920098484153116 × 6371000     		do = 1124.02842210689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46191996-0.46211171) × cos(0.40228805) × R
    0.000191749999999991 × 0.920167575186515 × 6371000     		du = 1124.11282642512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40246448)-sin(0.40228805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920098484153116-0.920167575186515)×R²
    abs(0.46211171-0.46191996)×6.9091033399471e-05×R²
    0.000191749999999991×6.9091033399471e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.9091033399471e-05×40589641000000     		ar = 1263495.32318159m²