Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18792 / 13960
↖ ↑ ↗
← N 25.720735°
E 26.455078°		 ← 1 100.54 m → N 25.720735°
E 26.466064°		 →
↑
1 100.59 m
↓
↑
1 100.59 m
↓
N 25.710837°
E 26.455078°		 ← 1 100.63 m →
1 211 296 m²		 N 25.710837°
E 26.466064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573501586914062 y=0.426040649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573501586914062 × 215)
    floor (0.573501586914062 × 32768)
    floor (18792.5)     		tx = 18792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426040649414062 × 215)
    floor (0.426040649414062 × 32768)
    floor (13960.5)     		ty = 13960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18792 / 13960 ti = "15/18792/13960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18792/13960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18792 ÷ 215
    18792 ÷ 32768     		x = 0.573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13960 ÷ 215
    13960 ÷ 32768     		y = 0.426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573486328125 × 2 - 1) × π
    0.14697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46172822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426025390625 × 2 - 1) × π
    0.14794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.464796178716064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46172822} λ = 0.46172822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464796178716064))-π/2
    2×atan(1.59168973557745)-π/2
    2×1.0098539204559-π/2
    2.01970784091181-1.57079632675     		φ = 0.44891151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46172822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44891151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.720735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18792 KachelY 13960 0.46172822 0.44891151 26.455078 25.720735
    Oben rechts KachelX + 1 18793 KachelY 13960 0.46191996 0.44891151 26.466064 25.720735
    Unten links KachelX 18792 KachelY + 1 13961 0.46172822 0.44873876 26.455078 25.710837
    Unten rechts KachelX + 1 18793 KachelY + 1 13961 0.46191996 0.44873876 26.466064 25.710837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44891151-0.44873876) × R
    0.000172749999999999 × 6371000     		dl = 1100.59025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44891151-0.44873876) × R
    0.000172749999999999 × 6371000     		dr = 1100.59025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46172822-0.46191996) × cos(0.44891151) × R
    0.000191739999999996 × 0.90092002446388 × 6371000     		do = 1100.54186538125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46172822-0.46191996) × cos(0.44873876) × R
    0.000191739999999996 × 0.900994981955109 × 6371000     		du = 1100.63343161908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44891151)-sin(0.44873876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90092002446388-0.900994981955109)×R²
    abs(0.46191996-0.46172822)×7.49574912293216e-05×R²
    0.000191739999999996×7.49574912293216e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.49574912293216e-05×40589641000000     		ar = 1211296.03822218m²