Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18792 / 13928
↖ ↑ ↗
← N 26.037042°
E 26.455078°		 ← 1 097.60 m → N 26.037042°
E 26.466064°		 →
↑
1 097.72 m
↓
↑
1 097.72 m
↓
N 26.027170°
E 26.455078°		 ← 1 097.69 m →
1 204 910 m²		 N 26.027170°
E 26.466064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573501586914062 y=0.425064086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573501586914062 × 215)
    floor (0.573501586914062 × 32768)
    floor (18792.5)     		tx = 18792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425064086914062 × 215)
    floor (0.425064086914062 × 32768)
    floor (13928.5)     		ty = 13928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18792 / 13928 ti = "15/18792/13928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18792/13928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18792 ÷ 215
    18792 ÷ 32768     		x = 0.573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13928 ÷ 215
    13928 ÷ 32768     		y = 0.425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573486328125 × 2 - 1) × π
    0.14697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46172822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425048828125 × 2 - 1) × π
    0.14990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.470932101867432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46172822} λ = 0.46172822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470932101867432))-π/2
    2×atan(1.60148624605733)-π/2
    2×1.01261421759109-π/2
    2.02522843518218-1.57079632675     		φ = 0.45443211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46172822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45443211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.037042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18792 KachelY 13928 0.46172822 0.45443211 26.455078 26.037042
    Oben rechts KachelX + 1 18793 KachelY 13928 0.46191996 0.45443211 26.466064 26.037042
    Unten links KachelX 18792 KachelY + 1 13929 0.46172822 0.45425981 26.455078 26.027170
    Unten rechts KachelX + 1 18793 KachelY + 1 13929 0.46191996 0.45425981 26.466064 26.027170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45443211-0.45425981) × R
    0.000172300000000014 × 6371000     		dl = 1097.72330000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45443211-0.45425981) × R
    0.000172300000000014 × 6371000     		dr = 1097.72330000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46172822-0.46191996) × cos(0.45443211) × R
    0.000191739999999996 × 0.898510449574373 × 6371000     		do = 1097.59838763443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46172822-0.46191996) × cos(0.45425981) × R
    0.000191739999999996 × 0.898586067688744 × 6371000     		du = 1097.69076087333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45443211)-sin(0.45425981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898510449574373-0.898586067688744)×R²
    abs(0.46191996-0.46172822)×7.56181143711787e-05×R²
    0.000191739999999996×7.56181143711787e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.56181143711787e-05×40589641000000     		ar = 1204910.02725822m²