Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18791 / 13959
↖ ↑ ↗
← N 25.730633°
E 26.444092°		 ← 1 100.51 m → N 25.730633°
E 26.455078°		 →
↑
1 100.59 m
↓
↑
1 100.59 m
↓
N 25.720735°
E 26.444092°		 ← 1 100.60 m →
1 211 258 m²		 N 25.720735°
E 26.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573471069335938 y=0.426010131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573471069335938 × 215)
    floor (0.573471069335938 × 32768)
    floor (18791.5)     		tx = 18791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426010131835938 × 215)
    floor (0.426010131835938 × 32768)
    floor (13959.5)     		ty = 13959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18791 / 13959 ti = "15/18791/13959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18791/13959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18791 ÷ 215
    18791 ÷ 32768     		x = 0.573455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13959 ÷ 215
    13959 ÷ 32768     		y = 0.425994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573455810546875 × 2 - 1) × π
    0.14691162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46153647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425994873046875 × 2 - 1) × π
    0.14801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.464987926314545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46153647} λ = 0.46153647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464987926314545))-π/2
    2×atan(1.59199496752458)-π/2
    2×1.0099402914871-π/2
    2.0198805829742-1.57079632675     		φ = 0.44908426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46153647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.444092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44908426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.730633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18791 KachelY 13959 0.46153647 0.44908426 26.444092 25.730633
    Oben rechts KachelX + 1 18792 KachelY 13959 0.46172822 0.44908426 26.455078 25.730633
    Unten links KachelX 18791 KachelY + 1 13960 0.46153647 0.44891151 26.444092 25.720735
    Unten rechts KachelX + 1 18792 KachelY + 1 13960 0.46172822 0.44891151 26.455078 25.720735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44908426-0.44891151) × R
    0.000172749999999999 × 6371000     		dl = 1100.59025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44908426-0.44891151) × R
    0.000172749999999999 × 6371000     		dr = 1100.59025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46153647-0.46172822) × cos(0.44908426) × R
    0.000191750000000046 × 0.900845040086889 × 6371000     		do = 1100.50765913823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46153647-0.46172822) × cos(0.44891151) × R
    0.000191750000000046 × 0.90092002446388 × 6371000     		du = 1100.5992629963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44908426)-sin(0.44891151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900845040086889-0.90092002446388)×R²
    abs(0.46172822-0.46153647)×7.49843769913827e-05×R²
    0.000191750000000046×7.49843769913827e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.49843769913827e-05×40589641000000     		ar = 1211258.41186659m²