Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1879 / 943
↖ ↑ ↗
← N 69.193800°
W 14.853515°		 ← 3 471.44 m → N 69.193800°
W 14.765625°		 →
↑
3 473.98 m
↓
↑
3 473.98 m
↓
N 69.162558°
W 14.853515°		 ← 3 476.43 m →
12 068 376 m²		 N 69.162558°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4588623046875 y=0.2303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4588623046875 × 212)
    floor (0.4588623046875 × 4096)
    floor (1879.5)     		tx = 1879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2303466796875 × 212)
    floor (0.2303466796875 × 4096)
    floor (943.5)     		ty = 943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1879 / 943 ti = "12/1879/943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1879/943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1879 ÷ 212
    1879 ÷ 4096     		x = 0.458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 943 ÷ 212
    943 ÷ 4096     		y = 0.230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230224609375 × 2 - 1) × π
    0.53955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25924275} λ = -0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69504877056519))-π/2
    2×atan(5.4469116076926)-π/2
    2×1.38922797731798-π/2
    2.77845595463597-1.57079632675     		φ = 1.20765963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20765963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.193800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1879 KachelY 943 -0.25924275 1.20765963 -14.853515 69.193800
    Oben rechts KachelX + 1 1880 KachelY 943 -0.25770877 1.20765963 -14.765625 69.193800
    Unten links KachelX 1879 KachelY + 1 944 -0.25924275 1.20711435 -14.853515 69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 1880 KachelY + 1 944 -0.25770877 1.20711435 -14.765625 69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20765963-1.20711435) × R
    0.000545280000000092 × 6371000     		dl = 3473.97888000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20765963-1.20711435) × R
    0.000545280000000092 × 6371000     		dr = 3473.97888000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25924275--0.25770877) × cos(1.20765963) × R
    0.00153398000000005 × 0.355208120040202 × 6371000     		do = 3471.44419026002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25924275--0.25770877) × cos(1.20711435) × R
    0.00153398000000005 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 3476.42516835486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20765963)-sin(1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355208120040202-0.355717787996262)×R²
    abs(-0.25770877--0.25924275)×0.000509667956060333×R²
    0.00153398000000005×0.000509667956060333×6371000²
    0.00153398000000005×0.000509667956060333×40589641000000     		ar = 12068376.0054467m²