Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18788 / 13971
↖ ↑ ↗
← N 25.611809°
E 26.411133°		 ← 1 101.55 m → N 25.611809°
E 26.422119°		 →
↑
1 101.61 m
↓
↑
1 101.61 m
↓
N 25.601902°
E 26.411133°		 ← 1 101.64 m →
1 213 526 m²		 N 25.601902°
E 26.422119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573379516601562 y=0.426376342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573379516601562 × 215)
    floor (0.573379516601562 × 32768)
    floor (18788.5)     		tx = 18788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426376342773438 × 215)
    floor (0.426376342773438 × 32768)
    floor (13971.5)     		ty = 13971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18788 / 13971 ti = "15/18788/13971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18788/13971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18788 ÷ 215
    18788 ÷ 32768     		x = 0.5733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13971 ÷ 215
    13971 ÷ 32768     		y = 0.426361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5733642578125 × 2 - 1) × π
    0.146728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46096123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426361083984375 × 2 - 1) × π
    0.14727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.462686955132782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46096123} λ = 0.46096123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462686955132782))-π/2
    2×atan(1.58833604413577)-π/2
    2×1.00890336515951-π/2
    2.01780673031902-1.57079632675     		φ = 0.44701040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46096123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44701040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.611809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18788 KachelY 13971 0.46096123 0.44701040 26.411133 25.611809
    Oben rechts KachelX + 1 18789 KachelY 13971 0.46115297 0.44701040 26.422119 25.611809
    Unten links KachelX 18788 KachelY + 1 13972 0.46096123 0.44683749 26.411133 25.601902
    Unten rechts KachelX + 1 18789 KachelY + 1 13972 0.46115297 0.44683749 26.422119 25.601902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44701040-0.44683749) × R
    0.000172909999999971 × 6371000     		dl = 1101.60960999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44701040-0.44683749) × R
    0.000172909999999971 × 6371000     		dr = 1101.60960999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46096123-0.46115297) × cos(0.44701040) × R
    0.000191739999999996 × 0.901743449412688 × 6371000     		do = 1101.54774115774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46096123-0.46115297) × cos(0.44683749) × R
    0.000191739999999996 × 0.901818180017623 × 6371000     		du = 1101.63903023682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44701040)-sin(0.44683749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901743449412688-0.901818180017623)×R²
    abs(0.46115297-0.46096123)×7.47306049351248e-05×R²
    0.000191739999999996×7.47306049351248e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.47306049351248e-05×40589641000000     		ar = 1213525.86301989m²