Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18786 / 13790
↖ ↑ ↗
← N 27.391278°
E 26.389160°		 ← 1 084.68 m → N 27.391278°
E 26.400147°		 →
↑
1 084.73 m
↓
↑
1 084.73 m
↓
N 27.381523°
E 26.389160°		 ← 1 084.77 m →
1 176 628 m²		 N 27.381523°
E 26.400147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573318481445312 y=0.420852661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573318481445312 × 215)
    floor (0.573318481445312 × 32768)
    floor (18786.5)     		tx = 18786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420852661132812 × 215)
    floor (0.420852661132812 × 32768)
    floor (13790.5)     		ty = 13790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18786 / 13790 ti = "15/18786/13790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18786/13790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18786 ÷ 215
    18786 ÷ 32768     		x = 0.57330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13790 ÷ 215
    13790 ÷ 32768     		y = 0.42083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57330322265625 × 2 - 1) × π
    0.1466064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46057773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42083740234375 × 2 - 1) × π
    0.1583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497393270457703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46057773} λ = 0.46057773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497393270457703))-π/2
    2×atan(1.64442909695529)-π/2
    2×1.02443215904805-π/2
    2.0488643180961-1.57079632675     		φ = 0.47806799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46057773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.389160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47806799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.391278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18786 KachelY 13790 0.46057773 0.47806799 26.389160 27.391278
    Oben rechts KachelX + 1 18787 KachelY 13790 0.46076948 0.47806799 26.400147 27.391278
    Unten links KachelX 18786 KachelY + 1 13791 0.46057773 0.47789773 26.389160 27.381523
    Unten rechts KachelX + 1 18787 KachelY + 1 13791 0.46076948 0.47789773 26.400147 27.381523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47806799-0.47789773) × R
    0.000170259999999978 × 6371000     		dl = 1084.72645999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47806799-0.47789773) × R
    0.000170259999999978 × 6371000     		dr = 1084.72645999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46057773-0.46076948) × cos(0.47806799) × R
    0.000191749999999991 × 0.887885428783309 × 6371000     		do = 1084.67568930472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46057773-0.46076948) × cos(0.47789773) × R
    0.000191749999999991 × 0.887963746517907 × 6371000     		du = 1084.77136532327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47806799)-sin(0.47789773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887885428783309-0.887963746517907)×R²
    abs(0.46076948-0.46057773)×7.831773459821e-05×R²
    0.000191749999999991×7.831773459821e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.831773459821e-05×40589641000000     		ar = 1176628.31470459m²