Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18785 / 51105
↖ ↑ ↗
← S 70.438638°
W 76.810913°		 ← 204.50 m → S 70.438638°
W 76.805420°		 →
↑
204.45 m
↓
↑
204.45 m
↓
S 70.440477°
W 76.810913°		 ← 204.48 m →
41 808 m²		 S 70.440477°
W 76.805420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.286643981933594 y=0.779808044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.286643981933594 × 216)
    floor (0.286643981933594 × 65536)
    floor (18785.5)     		tx = 18785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779808044433594 × 216)
    floor (0.779808044433594 × 65536)
    floor (51105.5)     		ty = 51105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18785 / 51105 ti = "16/18785/51105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18785/51105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18785 ÷ 216
    18785 ÷ 65536     		x = 0.286636352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51105 ÷ 216
    51105 ÷ 65536     		y = 0.779800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.286636352539062 × 2 - 1) × π
    -0.426727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.34060333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779800415039062 × 2 - 1) × π
    -0.559600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75803785666594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34060333} λ = -1.34060333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75803785666594))-π/2
    2×atan(0.172382771909398)-π/2
    2×0.170705085655771-π/2
    0.341410171311543-1.57079632675     		φ = -1.22938616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34060333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.810913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22938616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.438638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18785 KachelY 51105 -1.34060333 -1.22938616 -76.810913 -70.438638
    Oben rechts KachelX + 1 18786 KachelY 51105 -1.34050746 -1.22938616 -76.805420 -70.438638
    Unten links KachelX 18785 KachelY + 1 51106 -1.34060333 -1.22941825 -76.810913 -70.440477
    Unten rechts KachelX + 1 18786 KachelY + 1 51106 -1.34050746 -1.22941825 -76.805420 -70.440477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22938616--1.22941825) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dl = 204.445389999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22938616--1.22941825) × R
    3.20899999999291e-05 × 6371000     		dr = 204.445389999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34060333--1.34050746) × cos(-1.22938616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334816201444038 × 6371000     		do = 204.50164103987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34060333--1.34050746) × cos(-1.22941825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334785963395552 × 6371000     		du = 204.483172009667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22938616)-sin(-1.22941825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334816201444038-0.334785963395552)×R²
    abs(-1.34050746--1.34060333)×3.02380484858977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02380484858977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02380484858977e-05×40589641000000     		ar = 41807.5298073374m²