Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18785 / 14103
↖ ↑ ↗
← N 24.297040°
E 26.378174°		 ← 1 113.43 m → N 24.297040°
E 26.389160°		 →
↑
1 113.46 m
↓
↑
1 113.46 m
↓
N 24.287027°
E 26.378174°		 ← 1 113.52 m →
1 239 811 m²		 N 24.287027°
E 26.389160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573287963867188 y=0.430404663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573287963867188 × 215)
    floor (0.573287963867188 × 32768)
    floor (18785.5)     		tx = 18785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430404663085938 × 215)
    floor (0.430404663085938 × 32768)
    floor (14103.5)     		ty = 14103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18785 / 14103 ti = "15/18785/14103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18785/14103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18785 ÷ 215
    18785 ÷ 32768     		x = 0.573272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14103 ÷ 215
    14103 ÷ 32768     		y = 0.430389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573272705078125 × 2 - 1) × π
    0.14654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46038598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430389404296875 × 2 - 1) × π
    0.13922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.437376272133392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46038598} λ = 0.46038598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437376272133392))-π/2
    2×atan(1.54863867702026)-π/2
    2×0.997429840731649-π/2
    1.9948596814633-1.57079632675     		φ = 0.42406335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46038598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.378174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42406335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.297040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18785 KachelY 14103 0.46038598 0.42406335 26.378174 24.297040
    Oben rechts KachelX + 1 18786 KachelY 14103 0.46057773 0.42406335 26.389160 24.297040
    Unten links KachelX 18785 KachelY + 1 14104 0.46038598 0.42388858 26.378174 24.287027
    Unten rechts KachelX + 1 18786 KachelY + 1 14104 0.46057773 0.42388858 26.389160 24.287027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42406335-0.42388858) × R
    0.000174769999999991 × 6371000     		dl = 1113.45966999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42406335-0.42388858) × R
    0.000174769999999991 × 6371000     		dr = 1113.45966999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46038598-0.46057773) × cos(0.42406335) × R
    0.000191750000000046 × 0.91142453352465 × 6371000     		do = 1113.43198356692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46038598-0.46057773) × cos(0.42388858) × R
    0.000191750000000046 × 0.911496431740683 × 6371000     		du = 1113.51981724963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42406335)-sin(0.42388858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91142453352465-0.911496431740683)×R²
    abs(0.46057773-0.46038598)×7.18982160329285e-05×R²
    0.000191750000000046×7.18982160329285e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.18982160329285e-05×40589641000000     		ar = 1239810.51177747m²