Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18785 / 13786
↖ ↑ ↗
← N 27.430290°
E 26.378174°		 ← 1 084.29 m → N 27.430290°
E 26.389160°		 →
↑
1 084.34 m
↓
↑
1 084.34 m
↓
N 27.420538°
E 26.378174°		 ← 1 084.39 m →
1 175 798 m²		 N 27.420538°
E 26.389160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573287963867188 y=0.420730590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573287963867188 × 215)
    floor (0.573287963867188 × 32768)
    floor (18785.5)     		tx = 18785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420730590820312 × 215)
    floor (0.420730590820312 × 32768)
    floor (13786.5)     		ty = 13786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18785 / 13786 ti = "15/18785/13786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18785/13786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18785 ÷ 215
    18785 ÷ 32768     		x = 0.573272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13786 ÷ 215
    13786 ÷ 32768     		y = 0.42071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573272705078125 × 2 - 1) × π
    0.14654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46038598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42071533203125 × 2 - 1) × π
    0.1585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.498160260851624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46038598} λ = 0.46038598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498160260851624))-π/2
    2×atan(1.64569084208748)-π/2
    2×1.02477259875071-π/2
    2.04954519750143-1.57079632675     		φ = 0.47874887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46038598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.378174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47874887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.430290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18785 KachelY 13786 0.46038598 0.47874887 26.378174 27.430290
    Oben rechts KachelX + 1 18786 KachelY 13786 0.46057773 0.47874887 26.389160 27.430290
    Unten links KachelX 18785 KachelY + 1 13787 0.46038598 0.47857867 26.378174 27.420538
    Unten rechts KachelX + 1 18786 KachelY + 1 13787 0.46057773 0.47857867 26.389160 27.420538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47874887-0.47857867) × R
    0.000170200000000009 × 6371000     		dl = 1084.34420000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47874887-0.47857867) × R
    0.000170200000000009 × 6371000     		dr = 1084.34420000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46038598-0.46057773) × cos(0.47874887) × R
    0.000191750000000046 × 0.887571974190313 × 6371000     		do = 1084.29276087113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46038598-0.46057773) × cos(0.47857867) × R
    0.000191750000000046 × 0.887650367209776 × 6371000     		du = 1084.38852886064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47874887)-sin(0.47857867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887571974190313-0.887650367209776)×R²
    abs(0.46057773-0.46038598)×7.83930194624416e-05×R²
    0.000191750000000046×7.83930194624416e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.83930194624416e-05×40589641000000     		ar = 1175798.49192312m²