Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18781 / 13601
↖ ↑ ↗
← N 29.219302°
E 26.334228°		 ← 1 066.20 m → N 29.219302°
E 26.345215°		 →
↑
1 066.25 m
↓
↑
1 066.25 m
↓
N 29.209713°
E 26.334228°		 ← 1 066.29 m →
1 136 884 m²		 N 29.209713°
E 26.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573165893554688 y=0.415084838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573165893554688 × 215)
    floor (0.573165893554688 × 32768)
    floor (18781.5)     		tx = 18781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415084838867188 × 215)
    floor (0.415084838867188 × 32768)
    floor (13601.5)     		ty = 13601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18781 / 13601 ti = "15/18781/13601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18781/13601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18781 ÷ 215
    18781 ÷ 32768     		x = 0.573150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13601 ÷ 215
    13601 ÷ 32768     		y = 0.415069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573150634765625 × 2 - 1) × π
    0.14630126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45961899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415069580078125 × 2 - 1) × π
    0.16986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.533633566570465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45961899} λ = 0.45961899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533633566570465))-π/2
    2×atan(1.70511672119373)-π/2
    2×1.0403846765781-π/2
    2.0807693531562-1.57079632675     		φ = 0.50997303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45961899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.334228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50997303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.219302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18781 KachelY 13601 0.45961899 0.50997303 26.334228 29.219302
    Oben rechts KachelX + 1 18782 KachelY 13601 0.45981074 0.50997303 26.345215 29.219302
    Unten links KachelX 18781 KachelY + 1 13602 0.45961899 0.50980567 26.334228 29.209713
    Unten rechts KachelX + 1 18782 KachelY + 1 13602 0.45981074 0.50980567 26.345215 29.209713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50997303-0.50980567) × R
    0.000167360000000061 × 6371000     		dl = 1066.25056000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50997303-0.50980567) × R
    0.000167360000000061 × 6371000     		dr = 1066.25056000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45961899-0.45981074) × cos(0.50997303) × R
    0.000191749999999991 × 0.872757673468689 × 6371000     		do = 1066.19502964798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45961899-0.45981074) × cos(0.50980567) × R
    0.000191749999999991 × 0.872839358650314 × 6371000     		du = 1066.294819472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50997303)-sin(0.50980567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872757673468689-0.872839358650314)×R²
    abs(0.45981074-0.45961899)×8.16851816249908e-05×R²
    0.000191749999999991×8.16851816249908e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.16851816249908e-05×40589641000000     		ar = 1136884.2505635m²