Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18780 / 13980
↖ ↑ ↗
← N 25.522615°
E 26.323242°		 ← 1 102.37 m → N 25.522615°
E 26.334228°		 →
↑
1 102.44 m
↓
↑
1 102.44 m
↓
N 25.512700°
E 26.323242°		 ← 1 102.46 m →
1 215 343 m²		 N 25.512700°
E 26.334228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573135375976562 y=0.426651000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573135375976562 × 215)
    floor (0.573135375976562 × 32768)
    floor (18780.5)     		tx = 18780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426651000976562 × 215)
    floor (0.426651000976562 × 32768)
    floor (13980.5)     		ty = 13980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18780 / 13980 ti = "15/18780/13980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18780/13980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18780 ÷ 215
    18780 ÷ 32768     		x = 0.5731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13980 ÷ 215
    13980 ÷ 32768     		y = 0.4266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5731201171875 × 2 - 1) × π
    0.146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45942725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4266357421875 × 2 - 1) × π
    0.146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46096122674646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45942725} λ = 0.45942725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46096122674646))-π/2
    2×atan(1.58559737131978)-π/2
    2×1.00812499305088-π/2
    2.01624998610177-1.57079632675     		φ = 0.44545366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45942725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44545366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.522615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18780 KachelY 13980 0.45942725 0.44545366 26.323242 25.522615
    Oben rechts KachelX + 1 18781 KachelY 13980 0.45961899 0.44545366 26.334228 25.522615
    Unten links KachelX 18780 KachelY + 1 13981 0.45942725 0.44528062 26.323242 25.512700
    Unten rechts KachelX + 1 18781 KachelY + 1 13981 0.45961899 0.44528062 26.334228 25.512700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44545366-0.44528062) × R
    0.000173039999999958 × 6371000     		dl = 1102.43783999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44545366-0.44528062) × R
    0.000173039999999958 × 6371000     		dr = 1102.43783999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45942725-0.45961899) × cos(0.44545366) × R
    0.000191739999999996 × 0.90241529099888 × 6371000     		do = 1102.36844640619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45942725-0.45961899) × cos(0.44528062) × R
    0.000191739999999996 × 0.902489834768143 × 6371000     		du = 1102.45950725138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44545366)-sin(0.44528062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90241529099888-0.902489834768143)×R²
    abs(0.45961899-0.45942725)×7.45437692631912e-05×R²
    0.000191739999999996×7.45437692631912e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.45437692631912e-05×40589641000000     		ar = 1215342.88643289m²