Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1878 / 2634
↖ ↑ ↗
← S 45.706179°
W 14.941406°		 ← 6 824.85 m → S 45.706179°
W 14.853515°		 →
↑
6 821.11 m
↓
↑
6 821.11 m
↓
S 45.767523°
W 14.941406°		 ← 6 817.36 m →
46 527 500 m²		 S 45.767523°
W 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4586181640625 y=0.6431884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4586181640625 × 212)
    floor (0.4586181640625 × 4096)
    floor (1878.5)     		tx = 1878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6431884765625 × 212)
    floor (0.6431884765625 × 4096)
    floor (2634.5)     		ty = 2634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1878 / 2634 ti = "12/1878/2634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1878/2634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1878 ÷ 212
    1878 ÷ 4096     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2634 ÷ 212
    2634 ÷ 4096     		y = 0.64306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898912741675293))-π/2
    2×atan(0.407011946384073)-π/2
    2×0.386536504888493-π/2
    0.773073009776987-1.57079632675     		φ = -0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1878 KachelY 2634 -0.26077673 -0.79772332 -14.941406 -45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 1879 KachelY 2634 -0.25924275 -0.79772332 -14.853515 -45.706179
    Unten links KachelX 1878 KachelY + 1 2635 -0.26077673 -0.79879397 -14.941406 -45.767523
    Unten rechts KachelX + 1 1879 KachelY + 1 2635 -0.25924275 -0.79879397 -14.853515 -45.767523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79772332--0.79879397) × R
    0.00107064999999995 × 6371000     		dl = 6821.11114999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79772332--0.79879397) × R
    0.00107064999999995 × 6371000     		dr = 6821.11114999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.25924275) × cos(-0.79772332) × R
    0.00153397999999999 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 6824.84880720407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.25924275) × cos(-0.79879397) × R
    0.00153397999999999 × 0.697571355420939 × 6371000     		du = 6817.3554951212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79772332)-sin(-0.79879397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.697571355420939)×R²
    abs(-0.25924275--0.26077673)×0.000766737171030263×R²
    0.00153397999999999×0.000766737171030263×6371000²
    0.00153397999999999×0.000766737171030263×40589641000000     		ar = 46527500.3830834m²