Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1878 / 1874
↖ ↑ ↗
← S 81.569968°
E150.117188°		 ← 2 865.47 m → S 81.569968°
E150.292969°		 →
↑
2 861.09 m
↓
↑
2 861.09 m
↓
S 81.595699°
E150.117188°		 ← 2 856.79 m →
8 185 941 m²		 S 81.595699°
E150.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917236328125 y=0.915283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917236328125 × 211)
    floor (0.917236328125 × 2048)
    floor (1878.5)     		tx = 1878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915283203125 × 211)
    floor (0.915283203125 × 2048)
    floor (1874.5)     		ty = 1874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1878 / 1874 ti = "11/1878/1874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1878/1874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1878 ÷ 211
    1878 ÷ 2048     		x = 0.9169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1874 ÷ 211
    1874 ÷ 2048     		y = 0.9150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9169921875 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62003919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    -0.830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62003919} λ = 2.62003919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60776733933105))-π/2
    2×atan(0.0736989048597285)-π/2
    2×0.0735659054561645-π/2
    0.147131810912329-1.57079632675     		φ = -1.42366452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62003919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42366452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.569968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1878 KachelY 1874 2.62003919 -1.42366452 150.117188 -81.569968
    Oben rechts KachelX + 1 1879 KachelY 1874 2.62310715 -1.42366452 150.292969 -81.569968
    Unten links KachelX 1878 KachelY + 1 1875 2.62003919 -1.42411360 150.117188 -81.595699
    Unten rechts KachelX + 1 1879 KachelY + 1 1875 2.62310715 -1.42411360 150.292969 -81.595699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42366452--1.42411360) × R
    0.000449080000000102 × 6371000     		dl = 2861.08868000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42366452--1.42411360) × R
    0.000449080000000102 × 6371000     		dr = 2861.08868000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62003919-2.62310715) × cos(-1.42366452) × R
    0.00306796000000009 × 0.14660153519646 × 6371000     		do = 2865.46967216489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62003919-2.62310715) × cos(-1.42411360) × R
    0.00306796000000009 × 0.146157292456126 × 6371000     		du = 2856.78651548579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42366452)-sin(-1.42411360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14660153519646-0.146157292456126)×R²
    abs(2.62310715-2.62003919)×0.000444242740334277×R²
    0.00306796000000009×0.000444242740334277×6371000²
    0.00306796000000009×0.000444242740334277×40589641000000     		ar = 8185941.33884707m²