Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1878 / 1294
↖ ↑ ↗
← N 55.078367°
W 14.941406°		 ← 5 594.60 m → N 55.078367°
W 14.853515°		 →
↑
5 598.07 m
↓
↑
5 598.07 m
↓
N 55.028022°
W 14.941406°		 ← 5 601.64 m →
31 338 667 m²		 N 55.028022°
W 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4586181640625 y=0.3160400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4586181640625 × 212)
    floor (0.4586181640625 × 4096)
    floor (1878.5)     		tx = 1878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3160400390625 × 212)
    floor (0.3160400390625 × 4096)
    floor (1294.5)     		ty = 1294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1878 / 1294 ti = "12/1878/1294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1878/1294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1878 ÷ 212
    1878 ÷ 4096     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1294 ÷ 212
    1294 ÷ 4096     		y = 0.31591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31591796875 × 2 - 1) × π
    0.3681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15662151403271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15662151403271))-π/2
    2×atan(3.17917431603779)-π/2
    2×1.2660475907986-π/2
    2.53209518159719-1.57079632675     		φ = 0.96129885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96129885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.078367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1878 KachelY 1294 -0.26077673 0.96129885 -14.941406 55.078367
    Oben rechts KachelX + 1 1879 KachelY 1294 -0.25924275 0.96129885 -14.853515 55.078367
    Unten links KachelX 1878 KachelY + 1 1295 -0.26077673 0.96042017 -14.941406 55.028022
    Unten rechts KachelX + 1 1879 KachelY + 1 1295 -0.25924275 0.96042017 -14.853515 55.028022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96129885-0.96042017) × R
    0.000878680000000021 × 6371000     		dl = 5598.07028000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96129885-0.96042017) × R
    0.000878680000000021 × 6371000     		dr = 5598.07028000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.25924275) × cos(0.96129885) × R
    0.00153397999999999 × 0.572455495635847 × 6371000     		do = 5594.59987649635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.25924275) × cos(0.96042017) × R
    0.00153397999999999 × 0.573175735735912 × 6371000     		du = 5601.63877332866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96129885)-sin(0.96042017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572455495635847-0.573175735735912)×R²
    abs(-0.25924275--0.26077673)×0.000720240100064551×R²
    0.00153397999999999×0.000720240100064551×6371000²
    0.00153397999999999×0.000720240100064551×40589641000000     		ar = 31338667.4330107m²