Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18779 / 14109
↖ ↑ ↗
← N 24.236947°
E 26.312256°		 ← 1 113.96 m → N 24.236947°
E 26.323242°		 →
↑
1 114.03 m
↓
↑
1 114.03 m
↓
N 24.226929°
E 26.312256°		 ← 1 114.05 m →
1 241 036 m²		 N 24.226929°
E 26.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573104858398438 y=0.430587768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573104858398438 × 215)
    floor (0.573104858398438 × 32768)
    floor (18779.5)     		tx = 18779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430587768554688 × 215)
    floor (0.430587768554688 × 32768)
    floor (14109.5)     		ty = 14109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18779 / 14109 ti = "15/18779/14109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18779/14109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18779 ÷ 215
    18779 ÷ 32768     		x = 0.573089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14109 ÷ 215
    14109 ÷ 32768     		y = 0.430572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573089599609375 × 2 - 1) × π
    0.14617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45923550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430572509765625 × 2 - 1) × π
    0.13885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.436225786542511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45923550} λ = 0.45923550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436225786542511))-π/2
    2×atan(1.54685801504624)-π/2
    2×0.996905426316631-π/2
    1.99381085263326-1.57079632675     		φ = 0.42301453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45923550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42301453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.236947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18779 KachelY 14109 0.45923550 0.42301453 26.312256 24.236947
    Oben rechts KachelX + 1 18780 KachelY 14109 0.45942725 0.42301453 26.323242 24.236947
    Unten links KachelX 18779 KachelY + 1 14110 0.45923550 0.42283967 26.312256 24.226929
    Unten rechts KachelX + 1 18780 KachelY + 1 14110 0.45942725 0.42283967 26.323242 24.226929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42301453-0.42283967) × R
    0.000174859999999999 × 6371000     		dl = 1114.03305999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42301453-0.42283967) × R
    0.000174859999999999 × 6371000     		dr = 1114.03305999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45923550-0.45942725) × cos(0.42301453) × R
    0.000191749999999991 × 0.911855587260436 × 6371000     		do = 1113.95857572909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45923550-0.45942725) × cos(0.42283967) × R
    0.000191749999999991 × 0.911927355295832 × 6371000     		du = 1114.04625037803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42301453)-sin(0.42283967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911855587260436-0.911927355295832)×R²
    abs(0.45942725-0.45923550)×7.17680353961025e-05×R²
    0.000191749999999991×7.17680353961025e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.17680353961025e-05×40589641000000     		ar = 1241035.52022366m²