Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18778 / 13979
↖ ↑ ↗
← N 25.532529°
E 26.301269°		 ← 1 102.33 m → N 25.532529°
E 26.312256°		 →
↑
1 102.37 m
↓
↑
1 102.37 m
↓
N 25.522615°
E 26.301269°		 ← 1 102.43 m →
1 215 236 m²		 N 25.522615°
E 26.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573074340820312 y=0.426620483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573074340820312 × 215)
    floor (0.573074340820312 × 32768)
    floor (18778.5)     		tx = 18778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426620483398438 × 215)
    floor (0.426620483398438 × 32768)
    floor (13979.5)     		ty = 13979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18778 / 13979 ti = "15/18778/13979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18778/13979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18778 ÷ 215
    18778 ÷ 32768     		x = 0.57305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13979 ÷ 215
    13979 ÷ 32768     		y = 0.426605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57305908203125 × 2 - 1) × π
    0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426605224609375 × 2 - 1) × π
    0.14678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.46115297434494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45904375} λ = 0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46115297434494))-π/2
    2×atan(1.58590143495869)-π/2
    2×1.00821150745906-π/2
    2.01642301491811-1.57079632675     		φ = 0.44562669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44562669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.532529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18778 KachelY 13979 0.45904375 0.44562669 26.301269 25.532529
    Oben rechts KachelX + 1 18779 KachelY 13979 0.45923550 0.44562669 26.312256 25.532529
    Unten links KachelX 18778 KachelY + 1 13980 0.45904375 0.44545366 26.301269 25.522615
    Unten rechts KachelX + 1 18779 KachelY + 1 13980 0.45923550 0.44545366 26.312256 25.522615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44562669-0.44545366) × R
    0.000173030000000018 × 6371000     		dl = 1102.37413000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44562669-0.44545366) × R
    0.000173030000000018 × 6371000     		dr = 1102.37413000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45904375-0.45923550) × cos(0.44562669) × R
    0.000191750000000046 × 0.902340724518973 × 6371000     		do = 1102.33484594608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45904375-0.45923550) × cos(0.44545366) × R
    0.000191750000000046 × 0.90241529099888 × 6371000     		du = 1102.42593928467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44562669)-sin(0.44545366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902340724518973-0.90241529099888)×R²
    abs(0.45923550-0.45904375)×7.45664799067791e-05×R²
    0.000191750000000046×7.45664799067791e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.45664799067791e-05×40589641000000     		ar = 1215235.62927074m²