Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18778 / 13962
↖ ↑ ↗
← N 25.700938°
E 26.301269°		 ← 1 100.78 m → N 25.700938°
E 26.312256°		 →
↑
1 100.85 m
↓
↑
1 100.85 m
↓
N 25.691038°
E 26.301269°		 ← 1 100.87 m →
1 211 841 m²		 N 25.691038°
E 26.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573074340820312 y=0.426101684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573074340820312 × 215)
    floor (0.573074340820312 × 32768)
    floor (18778.5)     		tx = 18778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426101684570312 × 215)
    floor (0.426101684570312 × 32768)
    floor (13962.5)     		ty = 13962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18778 / 13962 ti = "15/18778/13962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18778/13962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18778 ÷ 215
    18778 ÷ 32768     		x = 0.57305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13962 ÷ 215
    13962 ÷ 32768     		y = 0.42608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57305908203125 × 2 - 1) × π
    0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42608642578125 × 2 - 1) × π
    0.1478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.464412683519104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45904375} λ = 0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464412683519104))-π/2
    2×atan(1.5910794472376)-π/2
    2×1.00968115683234-π/2
    2.01936231366467-1.57079632675     		φ = 0.44856599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44856599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.700938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18778 KachelY 13962 0.45904375 0.44856599 26.301269 25.700938
    Oben rechts KachelX + 1 18779 KachelY 13962 0.45923550 0.44856599 26.312256 25.700938
    Unten links KachelX 18778 KachelY + 1 13963 0.45904375 0.44839320 26.301269 25.691038
    Unten rechts KachelX + 1 18779 KachelY + 1 13963 0.45923550 0.44839320 26.312256 25.691038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44856599-0.44839320) × R
    0.000172790000000034 × 6371000     		dl = 1100.84509000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44856599-0.44839320) × R
    0.000172790000000034 × 6371000     		dr = 1100.84509000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45904375-0.45923550) × cos(0.44856599) × R
    0.000191750000000046 × 0.901069921231817 × 6371000     		do = 1100.78238277146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45904375-0.45923550) × cos(0.44839320) × R
    0.000191750000000046 × 0.901144842282425 × 6371000     		du = 1100.87390926753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44856599)-sin(0.44839320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901069921231817-0.901144842282425)×R²
    abs(0.45923550-0.45904375)×7.49210506080233e-05×R²
    0.000191750000000046×7.49210506080233e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.49210506080233e-05×40589641000000     		ar = 1211841.26249454m²