Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18777 / 13974
↖ ↑ ↗
← N 25.582085°
E 26.290283°		 ← 1 101.88 m → N 25.582085°
E 26.301269°		 →
↑
1 101.93 m
↓
↑
1 101.93 m
↓
N 25.572176°
E 26.290283°		 ← 1 101.97 m →
1 214 242 m²		 N 25.572176°
E 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573043823242188 y=0.426467895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573043823242188 × 215)
    floor (0.573043823242188 × 32768)
    floor (18777.5)     		tx = 18777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426467895507812 × 215)
    floor (0.426467895507812 × 32768)
    floor (13974.5)     		ty = 13974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18777 / 13974 ti = "15/18777/13974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18777/13974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18777 ÷ 215
    18777 ÷ 32768     		x = 0.573028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13974 ÷ 215
    13974 ÷ 32768     		y = 0.42645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573028564453125 × 2 - 1) × π
    0.14605712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45885200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42645263671875 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.462111712337341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45885200} λ = 0.45885200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462111712337341))-π/2
    2×atan(1.58742262801285)-π/2
    2×1.00864397221114-π/2
    2.01728794442228-1.57079632675     		φ = 0.44649162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45885200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.290283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44649162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.582085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18777 KachelY 13974 0.45885200 0.44649162 26.290283 25.582085
    Oben rechts KachelX + 1 18778 KachelY 13974 0.45904375 0.44649162 26.301269 25.582085
    Unten links KachelX 18777 KachelY + 1 13975 0.45885200 0.44631866 26.290283 25.572176
    Unten rechts KachelX + 1 18778 KachelY + 1 13975 0.45904375 0.44631866 26.301269 25.572176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44649162-0.44631866) × R
    0.00017296 × 6371000     		dl = 1101.92816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44649162-0.44631866) × R
    0.00017296 × 6371000     		dr = 1101.92816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45885200-0.45904375) × cos(0.44649162) × R
    0.000191749999999991 × 0.901967581928126 × 6371000     		do = 1101.87900031093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45885200-0.45904375) × cos(0.44631866) × R
    0.000191749999999991 × 0.902042253213629 × 6371000     		du = 1101.97022168415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44649162)-sin(0.44631866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901967581928126-0.902042253213629)×R²
    abs(0.45904375-0.45885200)×7.46712855027587e-05×R²
    0.000191749999999991×7.46712855027587e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.46712855027587e-05×40589641000000     		ar = 1214241.76208258m²