Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18775 / 13895
↖ ↑ ↗
← N 26.362342°
E 26.268311°		 ← 1 094.59 m → N 26.362342°
E 26.279297°		 →
↑
1 094.67 m
↓
↑
1 094.67 m
↓
N 26.352498°
E 26.268311°		 ← 1 094.69 m →
1 198 264 m²		 N 26.352498°
E 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572982788085938 y=0.424057006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572982788085938 × 215)
    floor (0.572982788085938 × 32768)
    floor (18775.5)     		tx = 18775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424057006835938 × 215)
    floor (0.424057006835938 × 32768)
    floor (13895.5)     		ty = 13895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18775 / 13895 ti = "15/18775/13895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18775/13895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18775 ÷ 215
    18775 ÷ 32768     		x = 0.572967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13895 ÷ 215
    13895 ÷ 32768     		y = 0.424041748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572967529296875 × 2 - 1) × π
    0.14593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45846851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424041748046875 × 2 - 1) × π
    0.15191650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.477259772617279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45846851} λ = 0.45846851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477259772617279))-π/2
    2×atan(1.61165205275223)-π/2
    2×1.01545299721186-π/2
    2.03090599442372-1.57079632675     		φ = 0.46010967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45846851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.268311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46010967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.362342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18775 KachelY 13895 0.45846851 0.46010967 26.268311 26.362342
    Oben rechts KachelX + 1 18776 KachelY 13895 0.45866026 0.46010967 26.279297 26.362342
    Unten links KachelX 18775 KachelY + 1 13896 0.45846851 0.45993785 26.268311 26.352498
    Unten rechts KachelX + 1 18776 KachelY + 1 13896 0.45866026 0.45993785 26.279297 26.352498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46010967-0.45993785) × R
    0.000171820000000045 × 6371000     		dl = 1094.66522000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46010967-0.45993785) × R
    0.000171820000000045 × 6371000     		dr = 1094.66522000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45846851-0.45866026) × cos(0.46010967) × R
    0.000191749999999991 × 0.896003804348092 × 6371000     		do = 1094.5934155409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45846851-0.45866026) × cos(0.45993785) × R
    0.000191749999999991 × 0.896080087169799 × 6371000     		du = 1094.68660562999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46010967)-sin(0.45993785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896003804348092-0.896080087169799)×R²
    abs(0.45866026-0.45846851)×7.62828217069078e-05×R²
    0.000191749999999991×7.62828217069078e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.62828217069078e-05×40589641000000     		ar = 1198264.35095665m²