Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18772 / 13908
↖ ↑ ↗
← N 26.234302°
E 26.235352°		 ← 1 095.75 m → N 26.234302°
E 26.246338°		 →
↑
1 095.88 m
↓
↑
1 095.88 m
↓
N 26.224447°
E 26.235352°		 ← 1 095.84 m →
1 200 852 m²		 N 26.224447°
E 26.246338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572891235351562 y=0.424453735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572891235351562 × 215)
    floor (0.572891235351562 × 32768)
    floor (18772.5)     		tx = 18772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424453735351562 × 215)
    floor (0.424453735351562 × 32768)
    floor (13908.5)     		ty = 13908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18772 / 13908 ti = "15/18772/13908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18772/13908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18772 ÷ 215
    18772 ÷ 32768     		x = 0.5728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13908 ÷ 215
    13908 ÷ 32768     		y = 0.4244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5728759765625 × 2 - 1) × π
    0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    0.151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474767053837036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45789327} λ = 0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474767053837036))-π/2
    2×atan(1.60763966037367)-π/2
    2×1.01433563710543-π/2
    2.02867127421086-1.57079632675     		φ = 0.45787495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45787495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.234302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18772 KachelY 13908 0.45789327 0.45787495 26.235352 26.234302
    Oben rechts KachelX + 1 18773 KachelY 13908 0.45808501 0.45787495 26.246338 26.234302
    Unten links KachelX 18772 KachelY + 1 13909 0.45789327 0.45770294 26.235352 26.224447
    Unten rechts KachelX + 1 18773 KachelY + 1 13909 0.45808501 0.45770294 26.246338 26.224447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45787495-0.45770294) × R
    0.00017201 × 6371000     		dl = 1095.87571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45787495-0.45770294) × R
    0.00017201 × 6371000     		dr = 1095.87571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45789327-0.45808501) × cos(0.45787495) × R
    0.000191739999999996 × 0.896993885527208 × 6371000     		do = 1095.74579008957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45789327-0.45808501) × cos(0.45770294) × R
    0.000191739999999996 × 0.897069908064725 × 6371000     		du = 1095.83865736189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45787495)-sin(0.45770294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896993885527208-0.897069908064725)×R²
    abs(0.45808501-0.45789327)×7.60225375163737e-05×R²
    0.000191739999999996×7.60225375163737e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.60225375163737e-05×40589641000000     		ar = 1200852.08414872m²