Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18770 / 13970
↖ ↑ ↗
← N 25.621716°
E 26.213379°		 ← 1 101.51 m → N 25.621716°
E 26.224365°		 →
↑
1 101.55 m
↓
↑
1 101.55 m
↓
N 25.611809°
E 26.213379°		 ← 1 101.61 m →
1 213 418 m²		 N 25.611809°
E 26.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572830200195312 y=0.426345825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572830200195312 × 215)
    floor (0.572830200195312 × 32768)
    floor (18770.5)     		tx = 18770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426345825195312 × 215)
    floor (0.426345825195312 × 32768)
    floor (13970.5)     		ty = 13970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18770 / 13970 ti = "15/18770/13970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18770/13970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18770 ÷ 215
    18770 ÷ 32768     		x = 0.57281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13970 ÷ 215
    13970 ÷ 32768     		y = 0.42633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57281494140625 × 2 - 1) × π
    0.1456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45750977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42633056640625 × 2 - 1) × π
    0.1473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.462878702731262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45750977} λ = 0.45750977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462878702731262))-π/2
    2×atan(1.58864063295897)-π/2
    2×1.00898981514653-π/2
    2.01797963029306-1.57079632675     		φ = 0.44718330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45750977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44718330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.621716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18770 KachelY 13970 0.45750977 0.44718330 26.213379 25.621716
    Oben rechts KachelX + 1 18771 KachelY 13970 0.45770152 0.44718330 26.224365 25.621716
    Unten links KachelX 18770 KachelY + 1 13971 0.45750977 0.44701040 26.213379 25.611809
    Unten rechts KachelX + 1 18771 KachelY + 1 13971 0.45770152 0.44701040 26.224365 25.611809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44718330-0.44701040) × R
    0.000172900000000031 × 6371000     		dl = 1101.5459000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44718330-0.44701040) × R
    0.000172900000000031 × 6371000     		dr = 1101.5459000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45750977-0.45770152) × cos(0.44718330) × R
    0.000191749999999991 × 0.901668696171821 × 6371000     		do = 1101.51386973977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45750977-0.45770152) × cos(0.44701040) × R
    0.000191749999999991 × 0.901743449412688 × 6371000     		du = 1101.60519123287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44718330)-sin(0.44701040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901668696171821-0.901743449412688)×R²
    abs(0.45770152-0.45750977)×7.47532408665874e-05×R²
    0.000191749999999991×7.47532408665874e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.47532408665874e-05×40589641000000     		ar = 1213418.38743631m²