Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1877 / 961
↖ ↑ ↗
← N 68.624543°
W 15.029297°		 ← 3 562.04 m → N 68.624543°
W 14.941406°		 →
↑
3 564.57 m
↓
↑
3 564.57 m
↓
N 68.592486°
W 15.029297°		 ← 3 567.13 m →
12 706 224 m²		 N 68.592486°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4583740234375 y=0.2347412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4583740234375 × 212)
    floor (0.4583740234375 × 4096)
    floor (1877.5)     		tx = 1877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2347412109375 × 212)
    floor (0.2347412109375 × 4096)
    floor (961.5)     		ty = 961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1877 / 961 ti = "12/1877/961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1877/961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1877 ÷ 212
    1877 ÷ 4096     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 961 ÷ 212
    961 ÷ 4096     		y = 0.234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234619140625 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66743711638403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66743711638403))-π/2
    2×atan(5.29857076062215)-π/2
    2×1.38426028069164-π/2
    2.76852056138329-1.57079632675     		φ = 1.19772423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19772423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.624543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1877 KachelY 961 -0.26231071 1.19772423 -15.029297 68.624543
    Oben rechts KachelX + 1 1878 KachelY 961 -0.26077673 1.19772423 -14.941406 68.624543
    Unten links KachelX 1877 KachelY + 1 962 -0.26231071 1.19716473 -15.029297 68.592486
    Unten rechts KachelX + 1 1878 KachelY + 1 962 -0.26077673 1.19716473 -14.941406 68.592486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19772423-1.19716473) × R
    0.000559500000000046 × 6371000     		dl = 3564.57450000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19772423-1.19716473) × R
    0.000559500000000046 × 6371000     		dr = 3564.57450000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26077673) × cos(1.19772423) × R
    0.00153397999999999 × 0.364477920888042 × 6371000     		do = 3562.03782954512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26077673) × cos(1.19716473) × R
    0.00153397999999999 × 0.364998876943627 × 6371000     		du = 3567.12912608511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19772423)-sin(1.19716473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364477920888042-0.364998876943627)×R²
    abs(-0.26077673--0.26231071)×0.000520956055584443×R²
    0.00153397999999999×0.000520956055584443×6371000²
    0.00153397999999999×0.000520956055584443×40589641000000     		ar = 12706223.6996029m²