Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1877 / 1975
↖ ↑ ↗
← N 79.468576°
W138.757324°		 ← 446.57 m → N 79.468576°
W138.735351°		 →
↑
446.61 m
↓
↑
446.61 m
↓
N 79.464560°
W138.757324°		 ← 446.74 m →
199 479 m²		 N 79.464560°
W138.735351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114593505859375 y=0.120574951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114593505859375 × 214)
    floor (0.114593505859375 × 16384)
    floor (1877.5)     		tx = 1877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120574951171875 × 214)
    floor (0.120574951171875 × 16384)
    floor (1975.5)     		ty = 1975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1877 / 1975 ti = "14/1877/1975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1877/1975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1877 ÷ 214
    1877 ÷ 16384     		x = 0.11456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1975 ÷ 214
    1975 ÷ 16384     		y = 0.12054443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.7708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42177217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12054443359375 × 2 - 1) × π
    0.7589111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38418963950311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42177217} λ = -2.42177217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38418963950311))-π/2
    2×atan(10.8502664740278)-π/2
    2×1.47889231992704-π/2
    2.95778463985408-1.57079632675     		φ = 1.38698831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42177217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.757324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38698831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.468576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1877 KachelY 1975 -2.42177217 1.38698831 -138.757324 79.468576
    Oben rechts KachelX + 1 1878 KachelY 1975 -2.42138867 1.38698831 -138.735351 79.468576
    Unten links KachelX 1877 KachelY + 1 1976 -2.42177217 1.38691821 -138.757324 79.464560
    Unten rechts KachelX + 1 1878 KachelY + 1 1976 -2.42138867 1.38691821 -138.735351 79.464560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38698831-1.38691821) × R
    7.01000000000729e-05 × 6371000     		dl = 446.607100000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38698831-1.38691821) × R
    7.01000000000729e-05 × 6371000     		dr = 446.607100000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42177217--2.42138867) × cos(1.38698831) × R
    0.000383500000000314 × 0.182774759625247 × 6371000     		do = 446.569640535399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42177217--2.42138867) × cos(1.38691821) × R
    0.000383500000000314 × 0.182843678328536 × 6371000     		du = 446.738028121394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38698831)-sin(1.38691821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182774759625247-0.182843678328536)×R²
    abs(-2.42138867--2.42177217)×6.8918703289178e-05×R²
    0.000383500000000314×6.8918703289178e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.8918703289178e-05×40589641000000     		ar = 199478.773736094m²