Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1877 / 1293
↖ ↑ ↗
← N 55.128649°
W 15.029297°		 ← 5 587.57 m → N 55.128649°
W 14.941406°		 →
↑
5 591.13 m
↓
↑
5 591.13 m
↓
N 55.078367°
W 15.029297°		 ← 5 594.60 m →
31 260 449 m²		 N 55.078367°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4583740234375 y=0.3157958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4583740234375 × 212)
    floor (0.4583740234375 × 4096)
    floor (1877.5)     		tx = 1877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3157958984375 × 212)
    floor (0.3157958984375 × 4096)
    floor (1293.5)     		ty = 1293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1877 / 1293 ti = "12/1877/1293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1877/1293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1877 ÷ 212
    1877 ÷ 4096     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1293 ÷ 212
    1293 ÷ 4096     		y = 0.315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315673828125 × 2 - 1) × π
    0.36865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15815549482056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15815549482056))-π/2
    2×atan(3.18405485072598)-π/2
    2×1.2664863825988-π/2
    2.5329727651976-1.57079632675     		φ = 0.96217644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96217644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.128649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1877 KachelY 1293 -0.26231071 0.96217644 -15.029297 55.128649
    Oben rechts KachelX + 1 1878 KachelY 1293 -0.26077673 0.96217644 -14.941406 55.128649
    Unten links KachelX 1877 KachelY + 1 1294 -0.26231071 0.96129885 -15.029297 55.078367
    Unten rechts KachelX + 1 1878 KachelY + 1 1294 -0.26077673 0.96129885 -14.941406 55.078367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96217644-0.96129885) × R
    0.000877589999999984 × 6371000     		dl = 5591.1258899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96217644-0.96129885) × R
    0.000877589999999984 × 6371000     		dr = 5591.1258899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26077673) × cos(0.96217644) × R
    0.00153397999999999 × 0.571735707832812 × 6371000     		do = 5587.56539995684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26077673) × cos(0.96129885) × R
    0.00153397999999999 × 0.572455495635847 × 6371000     		du = 5594.59987649635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96217644)-sin(0.96129885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571735707832812-0.572455495635847)×R²
    abs(-0.26077673--0.26231071)×0.000719787803034833×R²
    0.00153397999999999×0.000719787803034833×6371000²
    0.00153397999999999×0.000719787803034833×40589641000000     		ar = 31260448.898026m²