Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18768 / 13904
↖ ↑ ↗
← N 26.273714°
E 26.191406°		 ← 1 095.43 m → N 26.273714°
E 26.202392°		 →
↑
1 095.49 m
↓
↑
1 095.49 m
↓
N 26.263862°
E 26.191406°		 ← 1 095.52 m →
1 200 089 m²		 N 26.263862°
E 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572769165039062 y=0.424331665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572769165039062 × 215)
    floor (0.572769165039062 × 32768)
    floor (18768.5)     		tx = 18768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424331665039062 × 215)
    floor (0.424331665039062 × 32768)
    floor (13904.5)     		ty = 13904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18768 / 13904 ti = "15/18768/13904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18768/13904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18768 ÷ 215
    18768 ÷ 32768     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13904 ÷ 215
    13904 ÷ 32768     		y = 0.42431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475534044230957))-π/2
    2×atan(1.6088731775375)-π/2
    2×1.01467957161801-π/2
    2.02935914323601-1.57079632675     		φ = 0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18768 KachelY 13904 0.45712627 0.45856282 26.191406 26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 18769 KachelY 13904 0.45731802 0.45856282 26.202392 26.273714
    Unten links KachelX 18768 KachelY + 1 13905 0.45712627 0.45839087 26.191406 26.263862
    Unten rechts KachelX + 1 18769 KachelY + 1 13905 0.45731802 0.45839087 26.202392 26.263862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45856282-0.45839087) × R
    0.000171949999999976 × 6371000     		dl = 1095.49344999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45856282-0.45839087) × R
    0.000171949999999976 × 6371000     		dr = 1095.49344999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.45731802) × cos(0.45856282) × R
    0.000191749999999991 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 1095.43121684562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.45731802) × cos(0.45839087) × R
    0.000191749999999991 × 0.896765707360773 × 6371000     		du = 1095.52418616588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45856282)-sin(0.45839087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896765707360773)×R²
    abs(0.45731802-0.45712627)×7.61021064634715e-05×R²
    0.000191749999999991×7.61021064634715e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.61021064634715e-05×40589641000000     		ar = 1200088.64957741m²