Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18768 / 13648
↖ ↑ ↗
← N 28.767659°
E 26.191406°		 ← 1 070.86 m → N 28.767659°
E 26.202392°		 →
↑
1 070.90 m
↓
↑
1 070.90 m
↓
N 28.758028°
E 26.191406°		 ← 1 070.96 m →
1 146 841 m²		 N 28.758028°
E 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572769165039062 y=0.416519165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572769165039062 × 215)
    floor (0.572769165039062 × 32768)
    floor (18768.5)     		tx = 18768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416519165039062 × 215)
    floor (0.416519165039062 × 32768)
    floor (13648.5)     		ty = 13648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18768 / 13648 ti = "15/18768/13648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18768/13648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18768 ÷ 215
    18768 ÷ 32768     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13648 ÷ 215
    13648 ÷ 32768     		y = 0.41650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524621429441894))-π/2
    2×atan(1.68981901154874)-π/2
    2×1.0364433481337-π/2
    2.07288669626739-1.57079632675     		φ = 0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18768 KachelY 13648 0.45712627 0.50209037 26.191406 28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 18769 KachelY 13648 0.45731802 0.50209037 26.202392 28.767659
    Unten links KachelX 18768 KachelY + 1 13649 0.45712627 0.50192228 26.191406 28.758028
    Unten rechts KachelX + 1 18769 KachelY + 1 13649 0.45731802 0.50192228 26.202392 28.758028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50209037-0.50192228) × R
    0.000168089999999954 × 6371000     		dl = 1070.90138999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50209037-0.50192228) × R
    0.000168089999999954 × 6371000     		dr = 1070.90138999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.45731802) × cos(0.50209037) × R
    0.000191749999999991 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 1070.86266281822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.45731802) × cos(0.50192228) × R
    0.000191749999999991 × 0.87665935092993 × 6371000     		du = 1070.96147197547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50209037)-sin(0.50192228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.87665935092993)×R²
    abs(0.45731802-0.45712627)×8.08824350204684e-05×R²
    0.000191749999999991×8.08824350204684e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.08824350204684e-05×40589641000000     		ar = 1146841.22424316m²